Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

192 Division V. Chapitre 20. § 87.au moyen du quotient différentiel :dydx = z.Il reste maintenant encore à examiner si notre groupe (28) satisfaitaux exigences de la page 166, donc avant tout si deux points de l’espacedes x, y, z du groupe ont un et un seul invariant relativement au groupe.Notre groupe renferme trois transformations infinitésimales quisont d’ordre zéro par rapport à x, y, z et dont on ne peut tirer, par combinaisonlinéaire, aucune transformation d’ordre un, ou d’un ordre plusélevé, à savoir :p, q, xq + r.Nous en déduisons que l’origine des coordonnées : x = y = z = 0est un point en position générale 19 . Ce point reste au repos par les troistransformations infinitésimales :yp − z 2 r, xp − yq − 2zr, xp + yqde notre groupe. Par conséquent, d’après la Proposition 2, p. 178, l’existenced’un invariant pour les paires de points dépend seulement du faitque le déterminant :∣y 0 −z 2x −y −2zx y 0∣ = 2y2 z − 2xyz 2s’annule, ou ne s’annule pas, identiquement. Mais comme ce déterminantne s’annule pas identiquement, deux points de R 3 n’ont sûrementaucun invariant relativement au groupe (28). Ainsi, le groupe (28) nefait pas partie des groupes que nous recherchons [ist also für uns unbrauchbar].Deuxième casLe groupe réduit : X 1 f . . . X 6 f a maintenant la forme (II) explicitéepage 188, par suite de quoi le groupe : X 1 f . . .X 6 f est de la forme :{p + ϕ1 r, q + ϕ 2 r, xq + ϕ 3 r, xp + yq + ϕ 4 r(29)xp − yq + ϕ 5 r, x 2 p + xyq + ϕ 6 r,où ϕ 1 . . .ϕ 6 sont des fonctions de x, y, z.19 Dès que le groupe est (localement) transifif, les sous-algèbres d’isotropie de toutpoints sont isomorphes deux à deux et tout point est en position générale.