Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

150 3.8. Équations de structureforme un groupe continu à r paramètres, qui contient la transformationidentité, et dont les transformations peuvent être ordonnées par pairesinverses l’une de l’autre.Si les équations x ′ i = f i (x 1 , . . .,x n , a 1 , . . .,a r ) représentent unefamille de ∞ r transformations et si en outre, elles satisfont des équationsdifférentielles de la forme spécifique :∂x ′ i∂a k=r∑ψ kj (a 1 , . . .,a r ) · ξ ji (x ′ 1, . . .,x ′ n)j=1(i = 1 ···n; k = 1 ··· r),alors comme nous le savons, les r transformations infinitésimales :n∑X k (f) = ξ ki (x 1 , . . ., x n ) ∂f(k = 1 ···r)∂x ii=1sont linéairement indépendantes et de plus, d’après le Théorème 21p. 136, elles sont reliées entre elles par des relations de la forme :(X k Xj (f) ) (− X j Xk (f) ) r∑= [X k , X j ] = c kjs · X s (f).s=1Ainsi, la famille des ∞ r−1 groupes à un paramètre :λ 1 X 1 (f) + · · · + λ r X r (f)forme un groupe à r paramètres contenant la transformation identité.Par conséquent, nous pouvons ré-énoncer comme suit le Théorème 9p. 133.Théorème 25. ([40], p. 160) Si une famille de ∞ r transformations :x ′ i = f i(x 1 , . . .,x n , a 1 , . . .,a r ) (i =1··· n)satisfait certaines équations différentielles de la forme :∂x ′ r∑i= ψ kj (a 1 , . . .,a r ) · ξ ji (x ′ 1∂a , . . .,x′ n )kj=1et si le déterminant :∑±ψ11 (a) · · ·ψ rr (a)(i = 1 ···n ; k = 1 ··· r),ne s’annule pas, alors toute transformation x ′ i = f i (x, a) dont les paramètresa 1 , . . .,a r se trouvent dans un petit voisinage d’un paramètrequelconque fixé a 0 1 , . . ., a0 r peut être obtenue en exécutant en premier