Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

218 Division V. Chapitre 20. § 90.aux deux paires de points P 1 , P et P 2 , P . Il en découle que, sous les hypothèsesposées, tous les invariants d’un nombre de points supérieur àtrois peuvent être exprimés au moyen des invariants des paires de points(cf.aussi p. 182 sq.).Si donc nous cherchons tous les groupes du plan qui possèdentla propriété connue concernant les invariants de plusieurs points, et sitout d’abord, nous ne tenons pas compte de la condition de réalité, nousavons seulement besoin de rechercher, parmi les groupes à trois paramètresqui sont rassemblés à la page 57 4 , ceux qui sont transitifs et quin’ont jamais deux transformations infinitésimales possédant les mêmescourbes intégrales. Nous trouvons de cette façon seulement les quatregroupes suivants :⎧p, q, xp + cyq(c ≠0)(60)⎪⎨⎪⎩p + x 2 p + xyq, q + xyp + y 2 q, yp − xqxq, xp − yq, ypp, q, xp + (x + y) q .Ici, le groupe :p, xp + yq, x 2 p + (2xy + y 2 ) qest remplacé par le groupe projectif de la conique : x 2 + y 2 + 1 = 0(cf.p. 70, p. 76 et p. 88). Pareillement, le groupe : p, 2xp + yq, x 2 p +xyq est remplacé par un groupe projectif qui lui est semblable (cf.p. 95).Les invariants des deux points x 1 , y 1 et x 2 , y 2 pour lesgroupes (60), écrits l’un après l’autre, ont l’expression suivante :(61) ⎧⎨c log(x 2 − x 1 ) 2 − log(y 2 − y 1 ) 2 ,⎩x 1 y 2 − x 2 y 1 , (x 2 − x 1 ) e − y 2 −y 1x 2 −x 1 .(x 2 −x 1 ) 2 +(y 2 −y 1 ) 2 +(x 1 y 2 −x 2 y 1 ) 2(1+x 1 x 2 +y 1 y 2 ) 2Si l’on veut avoir tous les groupes réels du plan qui possèdent lescaractéristiques requises, on doit ajouter aux groupes (60) encore les4 À cet endroit sont listés tous les groupes locaux à un, deux, trois ou quatreparamètres qui agissent en dimension deux.