Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 133sont linéairement indépendantes.Nouvelles hypothèses économiques. On supposera premièrement queles équations de transformations (1), définies pour x ∈ X et a ∈ A ,constituent une famille de difféomorphismes x ↦→ f a (x) = x ′ du domaineX ⊂ C n sur son image f a (X ) ⊂ C n dont les paramètres(a 1 , . . .,a r ) sont essentiels, et deuxièmement que cette famille satisfaitdes équations différentielles du type (2) ci-dessus, en ajoutant expressémentl’hypothèse que le déterminant des ψ kj (a) ne s’annule en aucunparamètre a ∈ A 1 .Trois moments théoriques majeurs entrent alors en scène au Chapitre9 (Vol. I) de la Theorie der Transformationsgruppen.• Premier moment : Constantes de structure.• Deuxième moment : Réciproque intermédiaire.• Troisième moment : Élimination des transformations auxilaires.Le but principal est d’établir que si r transformations infinitésimalesX 1 , . . .,X r satisfont les relations par paires [ X k , X j]=∑ rj=1 c kjs X s ,où les c kjs sont des constantes, alors la totalité des transformationsx ′ = exp ( λ 1 X 1 + · · · + λ r X r)(x) constitue un groupe continu localde transformations à r paramètres essentiels. C’est le Théorème 24, obtenuà l’issu du troisième moment, qui va aboutir à cette conclusion.Énoncé technique auxiliaire. Mais tout d’abord, le théorème suivant serautilisé d’une manière essentielle par Lie pour établir, au cours du secondmoment, la fermeture par composition d’une famille d’équationsde transformation construites en intégrant un système d’équations auxdérivées partielles construites dans l’espace produit des x et des a. Ànoter : on n’utilise ici que la connaissance des groupes à un paramètres.Théorème 9. ([40], p. 72) Si, dans les équations de transformationsdéfinies pour (x, a) ∈ X × A :(1) x ′ i = f i (x 1 , . . .,x n ; a 1 , . . ., a r ) (i = 1 ···n),les r paramètres a 1 , . . ., a r sont tous essentiels et si, de plus, certaineséquations différentielles de la forme :r∑(2) ∂x′ i= ψ kj (a 1 , . . ., a r )·ξ ji (x ′ 1∂a , . . .,x′ n ) (i =1··· n ; k =1 ···r)kj=1sont identiquement satisfaites par x ′ 1 = f 1(x; a), . . .,x ′ n = f n(x; a),où la matrice ψ kj (a) est holomorphe et inversible dans un sous-domaine