Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

312 Division V. Chapitre 23. § 103.sont transformés par l’action d’un groupe projectif réel g, nous reconnaissonsdonc immédiatement que ce groupe g est semblable au groupeG 1 , par lequel les points de K 1 sont transformés en même temps, etpour préciser, que g est semblable à G 1 via une transformation ponctuelleréelle de R 3 . Mais comme G 1 était de son côté semblable, via unetransformation ponctuelle réelle de R 3 , soit au groupe des mouvementseuclidiens, soit à l’un des deux groupes de mouvements non-euclidiensde cet espace, il en découle donc, en tenant compte du Théorème 19,p. 292, que g est à six paramètres et qu’il peut être transformé au moyend’une transformation projective réelle en l’un des trois groupes de mouvementsmentionnés.Ainsi, notre groupe G à dix paramètres est constitué de telle sortequ’après fixation d’un point réel en position générale, les ∞ 3 élémentslinéaires réels passant par ce point sont transformés par l’action d’ungroupe à six paramètres, et pour préciser, d’un groupe euclidien ounon-euclidien.Si les éléments linéaires en question sont transformés par l’actiond’un groupe euclidien, alors, en même temps que chaque point réel enposition générale, une botte [Bündel] réelle de ∞ 2 éléments linéairespassant par un tel point reste invariante, donc G laisse invariante uneéquation de Pfaff réelle :4∑(15)α ν (x 1 . . .x 4 ) dx ν = 0,1qui ne doit naturellement pas être intégrable, parce que sinon G seraitréel-imprimitif. Mais maintenant, il est connu d’après la théorie du problèmede Pfaff, qu’à toute équation de Pfaff non intégrable à quatrevariables est associée un système invariant simultané. Ce système simultané,qui est également réel pour l’équation réelle (15), devrait naturellementrester invariant par G, donc dans ce cas G devrait être réelimprimitif; par conséquent, le cas où les ∞ 3 éléments linéaires passantpar un point réel fixé sont transformés de manière euclidienne n’entregénéralement pas en ligne de compte.D’un autre côté, si les éléments linéaires en question se transformentde manière non-euclidienne, alors à chaque point réel en positiongénérale et associée une conique du second degré réelle ou imaginaireconstituée d’éléments linéaires, qui, par un choix approprié desvariables, reçoit ou bien la forme :(16) dx 2 1 + · · · + dx2 4 = 0,