Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

12 1.7. Décider l’ouverture problématique du conceptuelIl s’agit ainsi, pour la saine philosophie riemannienne qui s’exercetoujours dans les mathématiques contemporaines, d’examiner régulièrementdans quelle mesure les travaux qui paraissent d’année en annéeapportent, ou n’apportent pas une réponse partielle, une réponse satisfaisante,une réponse complète, voire même une réponse définitive 25 .Le traitement du problème de Riemann par Helmholtz et par Lie avec lathéorie des groupes continus de transformations (cf. ce qui va suivre),puis par Kolmogorov, Busemann et par Freudenthal avec les conceptsde la topologie générale, montre qu’une question initiale peut se métamorphoser,se ramifier et se diversifier en s’approfondissant. Dans unetelle optique, si dogmatisme doctrinaire il peut y avoir, c’est un dogmatismede l’attente et de l’imprévisibilité. La position philosophiquede Riemann, non exprimée par lui comme système et intrinsèquementen adéquation avec le caractère fondamentalement imprévisible et ouvertde l’irréversible-synthétique (cf. [108]) en mathématiques, ne peutêtre entachée par une décision ontologique unilatérale, que ce soit unréalisme, un idéalisme, un transcendentalisme, un empirisme, un relativisme,ou un scepticisme. Presque par pétition de principe, certainsproblèmes acquièrent donc une ouverture dialectique indéfinie qui lesrend inépuisables. À tout le moins, très peu de questions mathématiquespeuvent être considérées comme complètement résolues : là est toute lateneur du renversement riemannien.25 En arrière-plan de ces considérations se profile donc un problème particulièrementdélicat pour la philosophie des mathématiques, à savoir : quand, pourquoi,comment et à quelles conditions peut-on déclarer qu’une question mathématique a étécomplètement résolue par un théorème, ou par une théorie ? Étant donné le renouveaudes problèmes d’effectivité en algèbre que suscite la maturité grandissante des calculateursélectroniques, la théorie de Galois fournit un exemple intéressant d’« illusiond’aboutissement par l’abstraction non calculatoire », puisque dans la pratique, la déterminationdu groupe de Galois sur Q d’un polynôme à coefficients entiers n’est enrien résolue par la correspondance biunivoque (et presque tautologique) entre tous lessous-groupes du groupe de Galois d’une extension finie normale, et tous les sous-corpsde cette extension qui contiennent Q ([44] ; voir le mémoire de synthèse [167] et sabibliographie pour les résultats les plus récents de la théorie de Galois algorithmique).Le quantificateur universel “tout” cache ici des ordres de question nombreux, notammentle problème de classifier a priori tous les groupes finis qui peuvent se réalisercomme groupes de Galois, qui est essentiellement le problème principal sur lequeldébouche la correspondance de Galois. Signalons seulement que Jordan traitera de laclassification des sous-groupes du groupe des permutations de n 1 lettres, et queLie prendra aussi à bras-le-corps le problème de classifier les groupes continus (finisou infinis) de transformations.