Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 67central dans les raisonnements mathématiques de Helmholtz est remisen cause dans le passage à l’infiniment petit !Grâce aux exemples précédents, il a été suffisamment démontréque la supposition que Monsieur de Helmholtz a introduite tacitement[l’infinitésimalisation] et qui a été décrite plus précisément auxpages 239 sq. [dans la traduction ci-dessous] est erronée. Et maintenant,comme ses considérations ultérieures prennent entièrement cettesupposition comme point de départ et n’ont force de preuve que sur labase de cette supposition, nous parvenons donc au résultat que Monsieurde Helmholtz n’a pas démontré l’assertion qu’il énonce à la fin deson travail, à savoir : il n’a pas démontré que ses axiomes suffisent àcaractériser les mouvements euclidiens et non-euclidiens. p. 247 cidessous.Cette observation conduit alors à contourner l’erreur principalede Helmholtz en supposant directement que les axiomes II, III et IVsont valides dans l’infiniment petit, c’est-à-dire plus précisément, quele groupe réduit les satisfait. On se ramène ainsi à un problème plusaccessible : trouver, dans le groupe affine complet de l’espace à troisdimensions, tous les sous-groupes transitifs à six paramètres pour lesquelsdeux points ont un et un seul invariant et qui satisfont de plusl’axiome de monodromie. En utilisant toute la force de la théorie desgroupes de transformations, Engel et Lie vérifieront que les conclusionsde Helmholtz peuvent être rendus rigoureuses et véridiques parune voie différente (voir le § 2.8 ci-dessous). Et sans insister ici surles erreurs mathématiques de Helmholtz 32 , eu égard à son but principalqui était de retrouver la métrique pythagoricienne tridimensionnelleds 2 = dx 2 1 + dx2 2 + dx2 3 telle qu’elle était représentée dans l’infinimentpetit par Gauss et par Riemann, l’approche qui consiste à infinitésimaliserd’emblée les quatre axiomes était tout à fait naturelle.2.7. Calculs helmholtziens. Pour l’instant, reprenons maintenant lesraisonnements mathématiques originaux de Helmholtz ([76]) que Lie necherchera pas à imiter 33 . Dans les équations de transformations linéaireshomogènes (2), les quantités A n , B n , C n dépendent de trois paramètresindépendants p ′ , p ′′ et p ′′′ . Supposons alors que p ′ , p ′′ et p ′′′ dépendent32 Le Chapitre 21 p. 220 ci-dessous y consacre déjà une analyse suffisammentminutieuse.33 Grande liberté de stratégie dans la théorie des groupes.