Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

292 Division V. Chapitre 23. § 101.Soit :X k f =n∑ν=1ξ kν (x 1 . . .x n ) ∂f∂x ν(k =1··· r)un groupe quelconque à r paramètres ; on peut poser :n∑Y k f = ξ kν (y 1 . . . y n ) ∂f .∂y νν=1Si ensuite les deux points x ν et y ν doivent avoir un invariant Ω(x, y),alors il est nécessaire et suffisant que les r équations :(1) X k f + Y k f = 0 (k = 1 ···r)en les 2n variables x ν et y ν aient une solution en commun, ou, ce quirevient au même, que tous les 2n × 2n déterminants de la matrice :ξ(2)k1 (x) . . . ξ kn (x) ξ k1 (y) . . . ξ kn (y)∣∣(k = 1,2··· r)s’annulent identiquement.Si maintenant cette condition est remplie et si nous posons : y ν =x ν + dx ν , on obtient immédiatement que les 2n × 2n déterminants dela matrice :ξ(2’)k1 (x) . . . ξ kn (x) dξ k1 (x) . . . dξ kn (x)∣∣(k = 1 ···r)s’annulent identiquement. Par conséquent, le groupe en les 2n variablesx ν , x ′ ν provenant de X 1f . . .X r f par prolongation (voir le Tome I,pp. 524 sq.) :n∑{ n∑ }∂ξ kν (x) ∂fX k f +x ′ τ∂xν=1 τ=1 τ ∂x ′ (k = 1 ···r)νest sûrement intransitif, et il laisse invariante au minimum une fonction: ω(x 1 . . .x n , x ′ 1 . . .x′ n ). Du reste, il est facile de voir que l’on peuttoujours choisir cette fonction ω de telle sorte qu’elle n’est pas indépendantede tous les x ′ . Si en effet les r équations (1) n’ont pas de solutioncommune indépendante de y 1 . . .y n , alors les équations :n∑{ n∑ }∂ξ kν (x) ∂f(3) X k f +x ′ τ = 0∂xν=1 τ=1 τ ∂x ′ (k = 1 ···r)νn’ont visiblement pas non plus de solution commune indépendantede x ′ 1 . . .x′ n . D’autre part, si les équations (1) ont une solution :Ω(x 1 . . .x n ) qui est indépendante de tous les y, alors elles ont aussi la