Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

ou bien la forme :Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 313(17) dx 2 1 + dx2 2 + dx2 3 − dx2 4 = 0.Maintenant, puisque G a dix paramètres et que les éléments linéairespassant par chaque point réel fixé se transforment par l’action d’ungroupe à six paramètres, on obtient grâce aux développements despages 385 sq., que G peut être transformé via une transformation ponctuelleréelle de R 4 soit en le groupe des mouvements euclidiens, soit enl’un des deux groupes de mouvements non-euclidiens — ces cas sontpossibles, lorsque la forme (16) se produit —, ou bien qu’il est semblable,via une transformation ponctuelle réelle de R 4 soit au groupeprojectif d’une des deux variétés :soit au groupe :x 2 1 + x2 2 + x2 3 − x2 4 = ±1,p 1 . . .p 4 , x µ p ν − x ν p µ , x µ p 4 + x 4 p µ (µ, ν = 1,2, 3)— ces cas correspondent à la forme (17).Mais les trois derniers groupes n’entrent pas du tout en ligne decompte, car pour chacun d’entre eux, il y a visiblement, parmi les pseudosphèresayant un centre donné, toujours une pseudosphère qui passepar son centre. Par conséquent, il ne reste plus que les mouvements euclidienset non-euclidiens, et on a donc démontré que ces trois famillesde mouvements de R 4 sont complètement caractérisées par les axiomesindiqués à la page 307.À présent, nous voulons indiquer de quelle manière ces considérationsse réalisent pour les espaces de dimension supérieure à quatre.Dans R n (n > 2) nous demandons pareillement que l’espacesoit une variété numérique et que les mouvements forment un groupecontinu engendré par des transformations infinitésimales. Si un pointréel : y1 0 . . .y0 n en position générale est fixé, alors tout autre pointréel : x 0 1 . . .x0 n peut être envoyé encore seulement sur les points réels :x 1 . . .x n qui satisfont une certaine équation :W ( y 0 1 . . .y 0 n ; x 0 1 . . .x 0 n ; x 1 . . .x n)= 0.Avec cela, nous supposons que cette équation représente en général unevariété réelle (n − 1) fois étendue, et qu’elle n’est pas satisfaite pour :x 1 = y1, 0 . . .,x n = yn.0La variété réelle passant par le point : x 0 1 . . .x0 n qui est déterminéepar l’équation : W = 0, nous l’appelons bien sûr une pseudosphère