Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

42 1.18. Surfaces de courbure constantetoujours positive dont les coefficients sont des fonctions de x :ds = 2κ √ √√√n∑i 1 ,...,i 2κ =1ω i1 ,...,i 2κ(x 1 , . . .,x n ) dx i1 · · ·dx i2κ .Sans perte de généralité, on peut supposer que de tels coefficientsω i1 ,...,i 2κsont complètement symétriques par rapport à leurs indices inférieurs,à savoir :ω i1 ,...,i 2κ(x) ≡ ω iσ(1) ,...,i σ(2κ)(x),pour toute permutation σ de l’ensemble {1, . . ., 2κ}.Le cas le plus simple est bien sûr celui des formes différentiellesquadratiques (2κ = 2), pour lequel le carré ds 2 de la longueur d’unélément infinitésimal quelconque de coordonnées non toutes nulles(dx 1 , . . .,dx n ) basé en un point (x 1 , . . ., x n ) est donné par une expressiondu second ordre en les dx i :n∑ds 2 = g i,j (x 1 , . . .,x n ) dx i dx ji,j=1à coefficients des fonctions arbitraires g i,j ≡ g j,i de x, de telle sorte quela somme ne prenne que des valeurs strictement positives.En conclusion, la genèse des métriques riemanniennes transcendetout acte de postulation axiomatique a posteriori. Problématisante,la genèse riemannienne procède par spécification progressive d’hypothèsesqui sont hiérarchisées en ordre de généralité. Chaque choix engagela pensée dans un nouvel irréversible-synthétique.La coprésence de ces bifurcations spéculatives indique l’ouverturecollatérale permanente de la pensée mathématique. Au sein même duconcept final de différentielle quadratique infinitésimale positive, le degréde liberté et d’arbitraire dans le choix des fonctions g i,j (x) maintientl’ouverture intrinsèque du concept et le prédispose à une plasticité remarquable,confirmée par sa capacité à héberger des théories physiquesaussi variées que la cristallographie, la mécanique des milieux continus,ou encore la théorie de la relativité généralisée.1.18. Surfaces de courbure constante. Le travail de Gauss sur la théorieintrinsèque des surface a trouvé des continuateurs ([129, 135, 90])à l’Université de Dorpat, maintenant Tartù, une ville de langue germaniquesituée dans une province estonienne. Senff a publié en 1831