Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

294 Division V. Chapitre 23. § 101.Ω(x, x + dx) est développable en série entière ordinaire par rapport àdx 1 . . .dx n ; on obtient en effet alors l’invariant désiré en recherchantla fonction homogène du plus bas degré par rapport à dx 1 . . . dx n quiest contenue dans le développement de Ω(x, x + dx) par rapport auxpuissances de dx 1 . . .dx n . Mais quand Ω(x, x + dx) n’est pas développableen série entière ordinaire par rapport à dx 1 . . .dx n , on ne peutpas déduire immédiatement l’invariant entre x ν et x ν + dx ν à partir del’expression de Ω(x, x + dx).Il est souhaitable de posséder un critère simple par lequel on peutvérifier si deux points infiniment voisins ont, ou n’ont pas un invariantrelativement à un groupe. Si en effet on s’est convaincu qu’ils n’ont pasd’invariant, alors d’après le Théorème 44, il est immédiatement clairque deux points finiment éloignés l’un de l’autre n’ont pas non plusd’invariant. Nous allons montrer pour cela comment on peut parvenir àun tel critère.Considérons un groupe continu quelconque G, fini ou infini, qui estconstitué de transformations infinitésimales. Parmi les transformationsinfinitésimales de G, qui laissent invariant un point x 0 1 . . .x 0 n de positiongénérale, il y en a un certain nombre, disons exactement m n 2 ,indépendantes les unes des autres :(4)∑1...nµ να k µ ν (x µ − x 0 µ ) ∂f∂x ν+ · · ·(k =1··· m),qui sont du premier ordre en les x µ − x 0 µ et à partir desquelles on nepeut déduire, par combinaison linéaire, aucune transformation du secondordre, ou d’un ordre supérieur, en les x µ −x 0 µ. Les transformationsinfinitésimales (4) sont alors visiblement constituées de telle sorte queles termes du premier ordre, dans chaque transformation infinitésimalede G qui fixe le point x 0 1 . . .x0 n , se laissent exprimer par combinaisonlinéaire à partir des termes du premier ordre des transformations (4).Il découle de là que les transformations infinitésimales :(5) A k f =∑1...nµ να k µ ν x ′ µ∂f∂x ′ ν(k =1··· m)en les variables x ′ 1 . . .x ′ n engendrent de leur côté un groupe linéairehomogène à m paramètres, qui est entièrement déterminé par le groupeG et le point x 0 1 . . .x0 n . Ce groupe linéaire homogène, dont l’existencenous est déjà connue dans le cas d’un groupe continu fini, d’après le