Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Première solution au problème de Riemann-Helmholtz. 263l’élément linéaire fournit donc exactement trois conditions pour les paramètresde G, et par conséquent, le nombre de ces paramètres est simplementégal à trois. Et maintenant, puisque nous avons déjà déterminéaux pages 370 sq. tous les groupes réels à trois paramètres du plan quisont réels-primitifs, nous obtenons le théorème suivant.Théorème 38. Si un groupe réel continu du plan possède la libremobilité dans l’infinitésimal en un point réel de position générale, alorsil est à trois paramètres et il est semblable, via une transformation ponctuelleréelle de ce plan, soit au groupe réel continu projectif à trois paramètresde la conique 1 :x 2 + y 2 + 1 = 0,soit au groupe réel continu projectif de la conique 2 :x 2 + y 2 − 1 = 0,soit à l’un des groupes projectifs à trois paramètres de la forme :où c désigne une constante réelle.p, q, yp − xq + c (xp + yq),En ce qui concerne les groupes que l’on a trouvés ici, il est avanttout remarquable qu’ils possèdent tous la libre mobilité dans l’infinitésimalen tous les points réels d’une certaine partie du plan, alors que nousavons demandé seulement qu’ils possèdent cette propriété en un pointréel de position générale 3 . Ce phénomène trouve son origine dans le faitque chaque groupe qui possède la libre mobilité dans l’infinitésimal enun point réel de position générale possède aussi cette propriété en tousles points réels qui se trouvent dans un certain voisinage du point enquestion.D’un autre côté, les groupes que l’on a trouvés montrent que dansle plan, la libre mobilité dans l’infinitésimal ne suffit encore pas pourcaractériser le groupe des mouvements euclidiens et les deux groupes de1 Trois générateurs infinitésimaux sont : p+x 2 p+xyq, q+xyp+y 2 q et yp−xp ;ils annulent en effet l’équation de la conique en restriction à la conique.2 Trois générateurs infinitésimaux sont : −p + x 2 p + xyq, −q + xyp + y 2 q etyp − xp.3 De toute façon, par analyticité, dès qu’elle est satisfaite en un seul point, lalibre mobilité dans l’infinitésimal est alors satisfaite en tous les points qui n’appartiennentpas à un certain sous-ensemble analytique fermé de codimension 1, doncnotamment en tous les points d’un certain ouvert dense.