Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

222 Division V. Chapitre 21. § 92.par les équations qui existent entre lui et les autres points restants du systèmerigide auquel il appartient.« Le premier point d’un système rigide en lui-même est donc absolumentmobile. Lorsque ce point est fixé, il existe une équation pour le deuxième pointet l’une de ses coordonnées devient une fonction des (n − 1) coordonnéesrestantes. Après que le deuxième point est aussi fixé, il existe deux équationspour le troisième point, etc. Par conséquent, ce sont au total n(n+1)1 · 2quantitésqui sont requises pour la détermination de la position d’un corps rigide en luimême.« Il découle de cette supposition et de celle énoncée en II, que, si deuxsystèmes de points rigides en eux-mêmes A et B peuvent être, dans une premièreposition initiale de A, rapportés à une congruence de points correspondants,alors, pour toute autre position de A, ils doivent pouvoir être rapportésà la congruence de tous les mêmes points qui étaient congruents auparavant.Cela veut dire, en d’autres termes, que la congruence de deux objets spatiauxne dépend pas de leur situation initiale, ou encore que toutes les parties de l’espace,lorsqu’on fait abstraction de leurs bornes, sont congruentes les unes auxautres.« IV. On doit finalement attribuer encore à l’espace une propriété quiest analogue à la monodromie des fonctions d’une variable complexe, etqui exprime en elle-même que deux corps congruents sont encore à nouveaucongruents après que l’un d’eux a subi une révolution complète autour d’unaxe de rotation arbitraire. Une rotation est caractérisée analytiquement en ceciqu’un certain nombre de points du corps en mouvement conservent leurs coordonnéesinchangées au cours du mouvement ; un retour en arrière du mouvementest caractérisé par le fait que les complexes de valeurs des coordonnéesqui se transformaient auparavant continûment l’un dans l’autre sont parcourusen sens inverse. Nous pouvons donc exprimer le fait concerné comme suit :Lorsqu’un corps rigide tourne autour de (n−1) de ses points et que ces pointssont choisis de telle sorte que sa position ne dépend plus que d’une variableindépendante, alors la rotation sans retour en arrière le reconduit finalementàla situation initiale dont il est parti. »Les axiomes de Monsieur de Helmholtz ici reproduits attribuentcertaines propriétés aux mouvements de l’espace n fois étendu, et ils’agit essentiellement maintenant de déterminer tous les systèmes possiblesde mouvements pour lesquels les propriétés indiquées se manifestent.Afin de pouvoir employer notre théorie des groupes pour résoudrece problème, nous devons avant toute chose montrer que nousavons au fond affaire ici à un problème de la théorie des groupes. C’estce qui se va se passer dans le prochain paragraphe.§ 92.