Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 87est strictement inférieur à r.(iii) Localement dans un voisinage de tout (x 0 , a 0 ), il existe unchamp de vecteurs non identiquement nul sur l’espace des paramètres:n∑T = τ k (a) ∂ ,∂a kk=1dont les coefficients τ k (a) sont analytiques dans un voisinage dea 0 , qui annihile toutes les fonctions f i (x; a) :n∑ ∂f i0 ≡ T f i = τ k = ∑ r∑τ k (a) ∂F αi (a) (x−x 0 ) α (i = 1 ··· n).∂a k ∂aα∈N nkk=1k=1Lorsque l’on sait déjà (cf. le premier théorème) que les r − ρ ∞ derniersparamètres (a ρ∞+1, . . ., a r ) sont purement absents de toutes lesfonctions f i , cette dernière condition (iii) exprime tout simplementle fait évident que les fonctions f i sont annulées identiquement par∂ / ∂a ρ∞+1, . . ., ∂ / ∂a r .Plus généralement, si ρ ∞ désigne le rang générique de l’applicationinfinie des coefficients :F ∞ : a ↦−→ ( Fα i (a)) 1in,α∈N net si ρ ∞ r−1, alors on démontre que localement dans un voisinage detout (x 0 , a 0 ), il existe exactement r−ρ ∞ champs de vecteurs analytiques(mais pas plus) :T µ =n∑k=1τ µk (a) ∂∂a k(µ=1··· r−ρ ∞),satisfaisant les deux propriétés suivantes :• la dimension de l’espace vectoriel qu’ils engendrentVect ( T 1∣∣a , . . .,T r−ρ∞∣∣a)est égale à r − ρ ∞ en tout paramètre a en lequel le rang de F ∞ estmaximal égal à ρ ∞ ;• chacune de ces dérivations T µ annihile identiquement toutes lesfonctions f i (x; a) :0 ≡ T µ f i =r∑k=1τ µk (a) ∂f i∂a k(x; a)(i = 1 ··· n; µ =1··· r−ρ ∞).3.2. Concept de groupe de Lie local. Nous restituons ici les définitionsfondamentales et les théorèmes, sans insister sur l’aspect purement