Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

284 Division V. Chapitre 22. § 100.qu’une longueur d’élément courbe (5) reste invariante par un groupecontinu G qui premièrement, est transitif et deuxièmement, transformede la manière la plus générale possible les ∞ n−1 éléments linéairespassant par chaque point réel fixé en position générale (cf.pp. 355 sq.).Si nous relions maintenant les développements des pages 353 sq.avec ceux des pages 385 sq., nous reconnaissons immédiatement quechaque groupe réel continu G ayant la constitution ici demandée peutêtre transformé, via une transformation ponctuelle réelle, soit en legroupe des mouvements euclidiens de R n , soit en l’un des deux groupesde mouvements non-euclidiens. Les exigences que Riemann énonce ausujet de la mobilité des figures suffisent donc, en commun avec l’exigencequ’il existe une longueur d’élément courbe, pour caractériser cestrois groupes de mouvements.Nous insérons à présent encore quelques remarques au sujet de lasolution que Riemann a lui-même donnée à son problème.Riemann dit : « Car il est évident que les figures ne pourraient pascoulisser et tourner librement, si la mesure de courbure n’était pas lamême en chaque point et dans toutes les directions ». De la constance dela mesure de courbure, il déduit maintenant que les rapports métriquessont, dans toutes les directions autour d’un point, exactement les mêmesqu’autour d’un autre point, et de là il découle à nouveau que les figurespeuvent coulisser et tourner librement sans élargissement de la manièrequi a été décrite plus haut.Maintenant, l’exigence que la mesure de courbure soit constanteen tous les points et dans toutes les directions de M 2 -éléments passantpar ces points, est visiblement nécessaire, lorsque le groupe G doit êtretransitif et lorsqu’il doit être en outre constitué de telle sorte qu’aprèsfixation d’un point réel en position générale, chaque M 2 -élément réelpassant par ce point peut encore être transformé en tout autre. Inversement,si le groupe est constitué de telle sorte qu’après fixation d’unpoint réel en position générale, chaque M 2 -élément réel peut encore êtretransformé en tout autre, on en déduit aisément que le groupe est transitifet que la mesure de courbure a la même valeur en tous les pointset dans toutes les directions de M 2 -éléments passant par ces points.Mais il découle de là, d’après Riemann, que les figures peuvent coulisseret tourner librement sans élargissement et à nouveau, cela revientà ce qu’après fixation d’un point réel de position générale, les élémentslinéaires passant par ce point sont transformés par G de la manière laplus générale possible.