Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 189des autres transformations n’est pas essentiellement modifiée 11 . Nouspouvons donc supposer désormais que ϕ 1 est simplement nul.À présent, il s’ensuit 12 :[p, q + ϕ2 r ] = ∂ϕ 2∂x r.Mais comme notre groupe ne renferme pas de transformation infinitésimalede la forme 13 : ψ(x, y, z) r, le coefficient ∂ϕ 2en facteur devant∂xr doit s’annuler identiquement, c’est-à-dire que ϕ 2 doit être libre de x.Si de plus nous introduisons : z 1 = ω(y, z) comme nouvelle variable, pconserve sa forme 14 tandis que la seconde transformation infinitésimaledevient :( ∂ωq + ϕ 2 (y, z) r = q +∂y + ϕ ∂ω)2 · r 1 .∂zSi nous choisissons ω de telle sorte que l’équation : ω y + ϕ 2 ω z = 0est satisfaite, alors les deux premières transformations infinitésimalesde notre groupe reçoivent la forme :p, q.Afin de déterminer ϕ 3 , calculons les crochets :[p, xq + ϕ3 r ] = q + ∂ϕ 3∂x r[q, xq + ϕ3 r ] ∂ϕ 3=∂y r,qui montrent que ϕ 3 dépend seulement de z ; mais par ailleurs, ϕ 3 nepeut pas non plus s’annuler, parce que sinon, notre groupe comprendraitdeux transformations infinitésimales : q et xq, dont les courbesintégrales coïncident, or ce cas est exclu, d’après la page 181. Nouspouvons donc introduire comme nouvelle coordonnée z une fonction11 En fait, tout changement de coordonnées locales de la forme x = x, y = y etz = z(x, y, z) où la fonction z, quelconque, est seulement supposée satisfaire la conditionz z ≠ 0 assurant qu’il s’agit d’un difféomorphisme local, a la propriété de laisserinchangés les parties en p et en q de chacune des six transformations infinitésimales dugroupe. Par exemple, xp+yq+ϕ 4 r se transforme en xp+yq+ ( ϕ 4 z z +xz x +yz y)r.Ce phénomène est bien sûr général et sera utilisé dans d’autres contextes.12 La plupart du temps, le « crochet » n’est pas nommé par Engel et Lie et il esttoujours noté au moyen de parenthèses.13 — puisque le groupe réduit X 1 , . . . , X 6 est de dimension six, ou parce qu’ons’en convainc aisément par un examen des six générateurs (27) —14 — tandis que les quatre transformations infinitésimales restantes conserventelles aussi essentiellement leur forme —