Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

106 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètrede champs de vecteurs X 1 , . . .,X r ? Retrouve-t-on toujours une famillede transformations fermée par composition ?Lorsque r 2, la « non-canonicité » des r transformations infinitésimalesX 1 , . . .,X r se révèle immédiatement. En effet, dès qu’oneffectue un changement de paramètres a ↦→ b = b(a) fixant l’identité21 , ce qui transforme f(x; a) en g(x; b) := f(x; a(b)), les r transformationsinfinitésimales Y k := ∂g∂b k(x; e) calculées de la même manièredans le nouvel espace des paramètres deviennent certaines combinaisons22 linéaires à coefficients constants des précédentes transformationsinfinitésimales X 1 , . . ., X r . De telles combinaisons linéaires interviennentaussi nécessairement lorsqu’on calcule les transformationsinfinitésimales X k non pas en l’identité e, mais en un paramètre a quelconque.Ainsi ces deux observations montrent clairement que la structurelinéaire est centrale.3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètre. Pour commencer,étudions tout d’abord la question posée à l’instant dans le cas d’uneseule transformation, c’est-à-dire lorsque r = 1. Dans la théorie deLie s’exprime une affirmation d’équivalence ontologique qui a de nombreusesimplications et qui demande des explications :transformation infinitésimale ≡ champ de vecteurs quelconqueEn effet et pour commencer, rappelons que tout champ de vecteurs :n∑X = ξ i (x) ∂∂x ii=1n’est pas seulement un opérateur de dérivation, il vient aussi accompagnéde son flot — dont nous admettrons l’existence, voir [88, 154, 92,125] — noté :(x; t) ↦−→ exp(tX)(x).Ce flot est défini géométriquement en suivant la courbe intégrale de Xissue d’un point x jusqu’au « temps » t, ou bien, de manière équivalenteet d’un point de vue analytique, en intégrant le système d’équationsdifférentielles ordinaires :dx idt = ξ (i x1 (t), . . .,x n (t) ) (i =1 ···n)21 On note alors b ↦→ a = b(a) le changement inverse de paramètres.22 La règle de dérivation des fonctions composées donne en effet immédiatement :∂g i∂b k(x; e) = ∑ rl=1∂f i∂a l(x; e) ∂a l∂b k(e).