Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

120 3.6. Champs de vecteurs et groupes à un paramètredéveloppe en série entière par rapport aux paramètres λ k , ces transformationss’écrivent :x (µ) ′r∑(µ)i = xi+ λ k · ξ (µ) ∑1...rλ k λ jki+(5)1 · 2 · ( X(µ) (µ)) k ξji + · · ·k=1k,j(i = 1 ···n; µ=1··· r),où nous avons bien sûr posé : ξ (µ)ki:= ξ ki (x (µ) ) et X (µ)k:=∑ ni=1 ξ ki(x (µ) ∂) . Une telle idée se révèlera fructueuse dans d’autres∂x (µ)icontextes, cf. la démonstration du Théorème 24 p. 149 ci-dessous.D’après le théorème p. 86, afin d’établir que les paramètres λ 1 ,... ,λ rsont essentiels, on doit seulement développer x ′ en série entière par rapport àx à l’origine :x ′ i = ∑(i = 1 ...n),α∈N n F i α(λ)x αet montrer que le rang générique de la matrice infinie des coefficients λ ↦−→(Fiα (λ) ) 1inest le maximal possible, égal à r. De même et immédiatement,α∈N non obtient le développement correspondant des équations de transformationsdans les espaces-copies :(6) x (µ) ′ ∑i = Fα i,(µ) (λ)(x (µ) ) α (i = 1 ...n; µ=1...r),α∈N navec, pour tout µ = 1,... ,r, les mêmes fonctions coefficients :F i,(µ)α (λ) ≡ F i α (λ) (i = 1 ... n; α ∈ Nn ; µ=1... r).Il en découle que le rang générique de la matrice infinie des coefficientscorrespondante, qui n’est autre qu’une copie de r fois la même applicationλ ↦−→ ( Fα i(λ)) 1in, ni ne croît, ni ne décroit.α∈N nAinsi, les paramètres λ 1 ,...,λ r pour les équations de transformationsx ′ = h(x; λ) sont essentiels si et seulement si ils sont essentiels pour leséquations de transformations diagonales x (µ)′ = h ( x (µ) ; λ ) , µ = 1,... ,r,induites sur le produit de r copies de l’espace des x 1 ,... ,x n .Donc il nous faut démontrer que le rang générique de la copie de r matricesinfinies de coefficients λ ↦−→ ( Fαi,(µ) (λ) ) 1in, 1µrest égal à r.α∈N nNous allons en fait établir que le rang en λ = 0 de cette même application estdéjà égal à r, ou, de manière équivalente, que la matrice infinie constante :( i,(µ) ∂F)α 1in, α∈N n ,1µr(0)∂λ k 1krdont les r lignes sont indexées par les dérivées partielles, est de rang égal r.