Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

(41)et :Critique des recherches helmholtziennes. 257Les deux groupes :{p, q, xq + r, xp + yq + cr, x 2 q + 2xr,x 2 p + 2xyq + 2(y + cx) r(42) p, q, r, 2xp + yq, xq + yr, x 2 p + xyq + 1 2 y2 rne satisfont pas non plus notre première exigence ; dans les deux cas eneffet, l’équation (33) correspondante ne fournit aucune équation véritableentre x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 , aussitôt que l’on pose x 0 2 = x0 1 , y0 2 = y0 1 .Enfin, le groupe :(43) r, p − yr, q + xr, xq, xp − yq, ypsatisfait certes notre première exigence, mais pas la deuxième. L’équation(34) correspondante s’écrit en effet : z = z 0 , et par conséquent,après fixation de l’origine des coordonnées, chaque autre point x 0 , y 0 , z 0devrait pouvoir se transformer encore en tous les autres points qui setrouvent sur le plan : z = z 0 . Les points pour lesquels x 0 = y 0 = 0montrent que cela n’est pas le cas, car ils restent tous au repos aprèsfixation de l’origine des coordonnées.Par ce qui précède, on a démontré que le groupe des mouvementseuclidiens et les deux groupes de mouvements non-euclidiens sont lesseuls groupes qui satisfont les exigences énoncées au § 93 ; ce sont lesseuls groupes de cette espèce, même lorsqu’on laisse complètement decôté l’axiome de monodromie.Nous voyons donc que les axiomes helmholtziens sont suffisantspour la caractérisation des mouvements euclidiens et non-euclidiens, sion les interprète de la même manière qu’aux § 92 et 93 ; mais nousvoyons en même temps qu’en prenant pour base cette interprétation,l’axiome de monodromie est de toute façon superflu. Mais bien qu’il sesoit avéré que l’on peut se passer de l’un des axiomes de Helmholtz,se présente juste après la question de savoir si on ne peut pas se passeraussi encore d’autres parties de ces axiomes. Dans le Chapitre 23 nousmontrerons qu’il faut répondre par l’affirmative à cette question.Mais il y a encore un point qui mérite d’être pris en considération.Dans les § 92 et 93, nous avons interprété les axiomes helmholtziensd’une certaine manière. Nous sommes loin d’affirmer que cette interprétationqui est la nôtre soit la seule possible, et nous dirons plutôtsans détour que les axiomes en question autorisent des interprétations