Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

216 Division V. Chapitre 20. § 90.11p, q, r, xq + yr, 2xp + yqx 2 p + xyq + 1 2 y2 rIci, le paramètre réel c est à chaque fois essentiel et ne peut pas êtresupprimé.Pour faciliter la compréhension de ce tableau, nous ajoutons encoreles remarques suivantes.Pour abréger, on écrit chaque fois U à la place de xp + yq + zr.Le groupe 2 laisse invariante la conique qui découpe la sphèreréelle : x 2 + y 2 − z 2 = 0 sur le plan à l’infini, et ce groupe provientdu groupe 1 constitué des mouvements euclidiens lorsqu’on remplace zpar iz.Le groupe 4 laisse invariante la surface réelle du second degré nonréglée : x 2 + y 2 + z 2 = 1 et le groupe 5, la surface réelle réglée :x 2 + y 2 − z 2 = 1. Ces groupes sont obtenus à partir du groupe 3 de lasurface : x 2 + y 2 + z 2 + 1 = 0, lorsqu’on introduit soit ix, iy, iz, soitix, iy, z comme nouvelles variables, et l’on peut alors très simplementindiquer quel est l’invariant de deux points qui leur correspond, grâceaux pages 184 sq.À la place du groupe (58) se trouvent dans notre tableau les deuxgroupes 6 et 7, parce que, d’après la page 214, l’un des deux paramètresa et b peut toujours être rendu simplement égal à 1 ; cependant, on doitfaire attention au fait que dans le groupe 6, la valeur du paramètre cdoit être limitée aux seules valeurs qui sont 0, car les deux groupesqui correspondent aux paramètres +c et −c sont semblables, commeon s’en convainc immédiatement, lorsqu’on intervertit x et y et qu’onremplace z par −z.Les groupes 8 . . . 11 sont les groupes [1] . . . [4] de la page 205 ; ondoit encore mentionner spécialement que dans le groupe 8, on a seulementbesoin de donner à c des valeurs telles que c 2 1, car par latransformation :x 1 = x, y 1 = y, z 1 = z c ,le groupe s’envoie sur un groupe de la même forme, dont le paramètrepossède la valeur 1 c . § 90.