Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 197du groupe (32), la courbe : x = y = 0 prend toutes les ∞ 2 positions :x = const., y = const., on a donc établi que : x = const., y = const.est l’unique famille de ∞ 2 courbes qui est invariante par le groupe (32).Enfin, puisque les pseudosphères (36) ne sont évidemment pas composéesdes courbes de la famille : x = const., y = const., il apparaîtque tout nombre de points supérieur à deux n’a pas d’invariant essentielrelativement au groupe (32).Mentionnons encore que : x = 0 est l’unique surface passant parle point : x = y = z = 0 qui reste invariante par le groupe (33), et quepar conséquent, mis à part la famille : x = const., il n’existe pas d’autrefamille de ∞ 1 surfaces qui admet le groupe (32).Quatrième casMaintenant, nous cherchons tous les groupes à six paramètres del’espace des x, y, z qui satisfont aux exigences de la page 181 et dont legroupe réduit possède la forme :(IV) p, q, xp, yq, x 2 p, y 2 q,Les transformations infinitésimales de ce groupe s’écrivent :{p + ϕ1 r, q + ϕ 2 r, xp + ϕ 3 r, yq + ϕ 4 r,(37)x 2 p + ϕ 5 r, y 2 q + ϕ 6 r,où ϕ 1 . . .ϕ 6 sont des fonctions de x, y, z.Comme dans le premier cas, on vérifie que [les fonctions] ϕ 1 et ϕ 2peuvent être supposées nulles sans perte de généralité. En calculant lecrochet de xp+ϕ 3 r avec p et avec q, on obtient que ϕ 3 ne dépend ni dex ni de y ; de plus, comme ϕ 3 ne peut évidemment pas être nul 26 , nouspouvons le rendre égal à 1 en introduisant une nouvelle variable z, etnous avons à présent les trois transformations infinitésimales :p, q, xp + r.En calculant maintenant les crochets de ces transformations simplifiéesavec : yq + ϕ 4 r, nous trouvons que ϕ 4 ne dépend pas de x, y, z,donc est simplement une constante ; nous pouvons donc poser ϕ 4 = c,où cependant la constante c ne doit pas s’annuler 27 ,26 Si la constante c était nulle, le groupe possèderait les deux transformations p etxp dont les courbes intégrales coïncideraient, ce qui serait exclut par la Proposition 1p. 176.27 Si la fonction ϕ 4 était identiquement nulle, le groupe possèderait les deux transformationsq et yp dont les courbes intégrales coïncideraient.