Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

200 Division V. Chapitre 20. § 87.Ce cas a déjà été complètement étudié aux pages 157 sq., où l’ona démontré 28 que le groupe (43) peut être, par un choix approprié de lavariable z, rapporté soit à la forme :soit à la forme :(44)r, p, q, xq, xp − yq, yp,{r, p, q + xr, xp − yq,yp + 1 2 y2 r, xq + 1 2 x2 r.Le premier de ces groupes n’entre pas en ligne de compte, puisque qet xq possèdent les mêmes courbes intégrales. Le groupe (44) nous est28 Par souci de complétude, voici les arguments. En introduisant ∫ 1ϕdz commenouveau z, on remplace ϕr par r et on obtient le groupe :r, p + ϕ 1 r, q + ϕ 2 r, xp − yq + ϕ 3 r, xq + ϕ 4 r, yp + ϕ 5 r.Le crochet avec r des cinq derniers générateurs montre que chaque ϕ k a la formeϕ k = a k z + ψ k (x, y), k = 1, . . .,5. Mais comme le crochet :[p + (a1 z + ψ 1 )r, xp − yq + (a 4 z + ψ 4 )r ] = p + χ(x, y)r,où χ est une fonction de x et de y qu’il est inutile de calculer précisément, ne peutqu’être égal à p+(a 1 z+ψ 1 )r, on obtient que a 1 = 0, et d’une manière analogue aussi,que a 2 = · · · = a 5 = 0. En introduisant maintenant z− ∫ ψ 1 dx comme nouveau z, onredresse la transformation infinitésimale p+ψ 1 r en p. Le crochet [ p, q+ψ 2 r ] = ∂ψ2∂x rmontre alors que ϕ 2 = Cx + χ(y), et on peut annuler ensuite la fonction χ(y) enintroduisant z − ∫ χ dy comme nouveau z. Le groupe considéré est ainsi réduit à laforme :r, p, q + Cxr, xp − yq + ψ 3 r, xq + ψ 4 r, yp + ψ 5 r,où ψ 3 , ψ 4 , ψ 5 sont des fonctions de (x, y). Le crochet [ p, xp−yq+ψ 3 r ] = p+ ∂ψ3∂x rmontre que ψ 3 = ax + τ(y). D’un autre côté, on a :[q + Cxr, xp − yq + (ax + τ)r]= −q +(τ ′ (y) − Cx)r,d’où τ ′ (y) est constant = b et τ(y) = by, si l’on supprime la constante d’intégrationgrâce à la présence de la (première) transformation infinitésimale r. En introduisantencore z − ax + by comme nouveau z, on obtient simplement la transformation infinitésimalexp − yq, tandis que r, p et q + Cxr ne changent pas essentiellement deforme. De plus, on a :[p, xq + ψ4 r ] = q + ∂ψ4∂x r,[q + Cxr, xq + ψ4 r ] = ∂ψ4∂y r,d’où en faisant abstraction de la constante d’intégration (superflue) : ψ 4 = 1 2 Cx2 +ky.Mais le crochet :[xp − yq, xq + (12 Cx2 + ky)r ] = 2xq + (Cx 2 − ky)rmontre que la constante k s’annule. Enfin, on montre d’une manière analogue queψ 5 = 1 2 Cy2 . Si C = 0, on obtient le premier groupe ; si C ≠ 0, en remplaçant z par1Cz, on obtient le second groupe (44).