Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

94 3.3. Principe de raison suffisante et axiome d’inverseoù x, x ′ ∈ C sont les coordonnées de l’espace-source et de l’espaceimage,et où le paramètre ζ ∈ C est restreint à |ζ| < 1. Évidemment,cette famille est fermée par composition 10 , à savoir : lorsque x ′ = ζ 1 xet lorsque x ′′ = ζ 2 x ′ , la composition donne x ′′ = ζ 2 x ′ = ζ 2 ζ 1 x, et elleappartient en effet à la famille en question, puisque |ζ 2 ζ 1 | < 1 découlede |ζ 1 |, |ζ 2 | < 1. Par contre, ni l’élément identité, ni l’inverse de toutetransformation n’appartiennent à la famille ainsi définie.Comme on l’aura noté, cette proposition de contre-exemple n’esten fait pas réellement convaincante. En effet, la condition |ζ| < 1 est icivisiblement artificielle, puisque la famille se prolonge en fait trivialementcomme groupe complet des dilatations ( x ′ = ζ x ) de la droiteζ∈Ccomplexe. L’idée de Engel était d’en appeler à une application holomorpheunivalente ω : ∆ → C du disque unité ∆ = {ζ ∈ C: |ζ| < 1}à valeurs dans C qui possède le cercle unité {|ζ| = 1} comme coupure,à savoir : ω ne peut être prolongée holomorphiquement au-delà d’aucunpoint ζ 0 ∈ ∂∆ = {|ζ| = 1} du bord du disque unité. L’application ωutilisée (sans référence bibliographique) par Engel est la suivante ([40],p. 164). Si k 1 est un entier quelconque, soit od k le nombre de diviseursimpairs de k, y compris 1 et k (lorsque k est impair).10 Sans présupposer l’existence d’un élément identité, la condition de stabilité parcomposition qu’Engel et Lie ont dégagée ([40], p. 14) s’énonce comme suit, lorsquex ∈ C n et a ∈ C r sont à valeurs complexes. Il existe deux paires de domainesX 1 ⊂ X ⊂ C n et A 1 ⊂ A ⊂ C r dans l’espace des variables x et dans l’espacedes paramètres a tels que pour tout a ∈ A , l’application x ↦→ f(x; a) est undifféomorphisme de X sur son image, tels que de plus, pour tout a 1 ∈ A 1 fixé,f(X 1 × {a 1 }) ⊂ X , de telle sorte que pour tout a 1 ∈ A 1 et pour tout b ∈ A , l’applicationcomposée x ↦−→ f ( f(x; a 1 ); b ) est bien définie et établit un difféomorphesur son image. De plus, deux conditions significatives sont supposées.• Il existe une application analytique ϕ = ϕ(a, b) à valeurs dans C m définie dansA × A avec ϕ(A 1 × A 1 ) ⊂ A telle que :f ( f(x; a); b ) ≡ f ( x; ϕ(a, b) ) pour tous x ∈ X 1 , a ∈ A 1 , b ∈ A 1 .• Il existe une application analytique χ = χ(a, c) à valeurs dans C m définie poura ∈ A et c ∈ A avec χ ( A 1 × A 1) ⊂ A qui résout b en termes de (a, c) dansl’équation c = ϕ(a, b), à savoir :c ≡ ϕ ( a, χ(a, c) ) pour tous a ∈ A 1 , c ∈ A 1 .C’est avec ces hypothèses précises que Lie pensait déduire : 1) la présence d’unélément identité e ∈ A ; et : 2) l’existence d’un difféomorphisme analytique locala ↦→ ι(a) défini près de e et fixant e, tel que f(x; ι(a)) est la transformation inversede f(x; a).