Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

180 Division V. Chapitre 20. § 85.nouveau y et nouveau z les deux solutions indépendantes de l’équation39 : X 1 f = 0, et rapporter par cette opération le groupe à la forme :X 1 f = p,X k f = η k (x, y, z) q + ζ k (x, y, z) r(k = 2 ···6).Mais alors l’invariant des deux points : x, y, z et x 1 , y 1 , z 1 serait nécessairementde la forme : x − x 1 , donc les pseudosphères de centrex 1 , y 1 , z 1 seraient représentées par : x − x 1 = const., ou plus simplementpar : x = const., c’est-à-dire qu’il y aurait en général seulement∞ 1 pseudosphères distinctes, ce qui est exclu d’après ce qui précède.Si d’autre part les surfaces : x = const. se transformaient de deuxmanières différentes, nous pourrions, d’après le Théorème 1, p. 6, parun choix approprié de x, rapporter le groupe : X 1 f . . .X 6 f à la forme :X 1 f = p + η 1 (x, y, z) q + ζ 1 (x, y, z) rX 2 f = xp + η 2 (x, y, z) q + ζ 2 (x, y, z) rX k f =η k (x, y, z) q + ζ k (x, y, z) r(k =3···6),et par conséquent, un point x 1 , y 1 , z 1 fixé en position générale admettraittrois transformations infinitésimales de la forme 40 :Y 1 f = (x − x 1 ) p + η 1 q + ζ 1 rY 2 f =η 2 q + ζ 2 rY 3 f = η 3 q + ζ 3 r,39 Le changement de coordonnées est alors de la forme :x = x, y = y(x, y, z), z = z(x, y, z),et il induit la transformations suivante sur les transformations infinitésimales basiques:p = p + y x q + y x r, q = y y q + z y r, r = y z q + z z r,ce qui ne change rien au fait que les autres transformations infinitésimales X 2 , . . .,X 6n’incorporent pas p : les nouvelles transformations X 2 , . . . , X 6 n’incorporent pas p.40 La transformation Y 1 := X 2 − x 1 X 1 s’annule au point p 1 . Les quatre transformationsrestantes X 3 , X 4 , X 5 , X 6 n’incorporant que q et r, il existe deux combinaisonslinéaires indépendantes à coefficients constants Y 2 et Y 3 qui s’annulent aussi enp 1 .