Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 199constitue un invariant, et à vrai dire, l’unique invariant des deux points :x 1 , y 1 , z 1 et x 2 , y 2 , z 2 .La famille des pseudosphères de notre groupe (38) est de la forme :(42) z + z 0 − log(x − x 0 ) 2 − c · log(y − y 0 ) 2 = const.Ainsi, elle est constituée d’un nombre de surfaces qui est supérieur à∞ 1 . Par ailleurs, on vérifie, comme dans le cas précédent, en annulantles sous-déterminants d’ordre deux de (40), que x = y = 0 est la seulecourbe passant par le point : x = y = z = 0 qui reste au repos enmême temps que ce point et donc aussi que la famille des ∞ 2 courbes :x = const., y = const. est la seule qui reste invariante par le groupe (38).Mais comme la pseudosphère (42) n’est manifestement pas constituéepar les courbes de cette famille, on en déduit avec certitude, grâce àla Proposition 4, p. 181, qu’un nombre de points supérieur à deux nepossède aucun invariant essentiel relativement au groupe (38).On peut encore mentionner qu’en dehors des deux familles de surfaces: x = const. et y = const., il n’existe pas d’autre famille de ∞ 1surfaces qui soit invariante par le groupe (38).B) Détermination de tous les groupesdont le groupe réduit possède cinq paramètresEn cette circonstance, d’après les pages 185 sq., le groupe réduit :X 1 f . . .X 6 f peut être rapporté aux deux formes suivantes :(V) p, q, xq, xp − yq, yp(VI) p, q, xq, 2xp + yq, x 2 p + xyq.Par conséquent, nous devons encore traiter maintenant ces deux cas.Cinquième casSi le groupe réduit est de la forme (V), le groupe : X 1 f . . .X 6 fpeut être mis sous la forme :{ ϕ r, p + ϕ1 r, q + ϕ 2 r, xp − yq + ϕ 3 r,(43)xq + ϕ 4 r, yp + ϕ 5 r,où l’on entend par ϕ, ϕ 1 , . . .,ϕ 5 des fonctions de x, y, z.