Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

138 3.8. Équations de structurepourvu que l’on pose partout x ′ ν = f ν(x, a). Multiplions maintenantcette identité par ˜ψ jk (a) et sommons le résultat obtenu pour k allant de1 jusqu’à r ; alors en tenant compte de l’hypothèse :r∑k=1˜ψ jk (a) ∂f ν(x, a)∂a k≡ ξ jν (f 1 , . . ., f n ),nous obtenons les équations suivantes :n∑ν=1ξ jν (x ′ 1 , . . .,x′ n ) ∂F i∂x ′ ν+r∑k=1(i =1··· n; j = 1 ···r).˜ψ jk (a 1 , . . .,a r ) ∂F i∂a k= 0D’après la manière dont ces équations ont été dérivées, elles sontsatisfaites identiquement lorsqu’on y fait la substitution x ′ ν = f ν (x, a).Mais puisqu’elles ne contiennent pas du tout x 1 , . . .,x n , elle doivent enfait être satisfaites identiquement, c’est-à-dire : les fonctions F 1 , . . ., F nsont toutes solutions des équations linéaires aux dérivées partielles suivantes:(4)Ω j (F) =n∑ν=1ξ jν (x ′ ) ∂F∂x ′ ν+r∑µ=1(j =1··· r).˜ψ jµ (a) ∂F∂a µ= 0Ces r équations contiennent n + r variables, à savoir x ′ 1, . . .,x ′ n eta 1 , . . .,a r ; de plus, elles sont indépendantes les unes des autres, puisquele déterminant des ˜ψ jµ (a) ne s’annule pas, et par conséquent, une résolutionpar rapport aux r quotients différentiels ∂F∂a 1, . . ., ∂F∂a rest possible.Mais par ailleurs, les équations (4) possèdent n solutions indépendantesen commun : les fonctions F 1 (x ′ , a), . . .,F n (x ′ , a) dont le déterminantfonctionnel par rapport aux x ′ :∑±∂F 1∂x ′ 1. . . ∂F n∂x ′ n=1∑ ±∂f 1∂x 1. . . ∂fn∂x nne s’annule pas identiquement, parce que par hypothèse, les équationsx ′ i = f i (x, a) représentent des transformations difféomorphes. Ainsi endéfinitive, les hypothèses du théorème de Clebsch-Lie-Frobenius sontsatisfaites par les équations (4), c’est-à-dire : ces équations constituentun système complet à r termes.