Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 207groupes dont les équations finies autorisent un certain nombre de différentiationspar rapport aux variables et aux paramètres 1 (cf.p. 365).Dès le début, il est clair que les groupes recherchés sont entièrementtransitifs (cf.p. 168). Ainsi, d’après la page 366, nous pouvonsnous imaginer dans chaque cas individuel qu’au moyen d’une transformationponctuelle réelle, de nouvelles variables x, y, z sont introduitesde telle sorte que le groupe concerné est représenté par des équationsréelles, dans lesquelles les fonctions qui apparaissent sont des fonctionsanalytiques des variables et des paramètres, au sens de Weierstraß.Ainsi, nous devons seulement considérer les groupes à m paramètrestels que, dans leurs transformations infinitésimales :X k f = ξ k (x, y, z) p + η k (x, y, z) q + ζ k (x, y, z) r(k =1, 2 ··· m),les coefficients ξ k , η k , ζ k sont des séries de puissances ordinaires parrapport à x − x 0 , y − y 0 , z − z 0 dans un voisinage d’un point réel quelconqueen position générale, et bien entendu, des séries de puissancesavec seulement des coefficients réels.Soit : X 1 f . . .X m f, ou brièvement G m , un tel groupe réel à mparamètres qui satisfait notre exigence concernant les invariants de deux1 On part d’un groupe de transformations réel fini continu dont les équationsx ′ i = f i(x 1 , . . .,x n ; a 1 , . . .,a m ), i = 1, . . . , n, ne sont pas forcément analytiques.En supposant seulement que les f i possèdent des dérivées continues d’ordre un etdeux par rapport à toutes leurs variables, Lie et Engel énoncent et démontrent (Théorème33, p. 366 du Volume III) que lorsque le groupe est transitif, il est toujours possibled’introduire localement un changement simultané de paramètres a ↦→ b = b(a)et de coordonnées x ↦→ y = y(x) qui transfère le groupe en un groupe équivalenty ′ i = g i (y 1 , . . . , y n ; b 1 , . . . , b r ), i = 1, . . .,n, dont toutes les équations sont analytiques.L’énoncé n’est plus valable lorsque le groupe n’est pas transitif, comme lemontre l’exemple q, xq, f(x)q sur le plan des (x, y), où f(x) est une fonction différentiablenon analytique (cf.[42], p. 368). Le cinquième problème de Hilbert (1900)demande s’il est possible d’éliminer l’hypothèse de différentiabilité, et de supposerseulement que les fonctions f i sont continues. En 1952, Gleason, et indépendamment,Montgomery-Zippin ont établi que tout groupe topologique localement euclidien, i.e.qui forme aussi une variété topologique, admet une structure de variété analytiqueréelle pour laquelle il constitue un groupe de Lie analytique. En 1955, Montgomery-Zippin ont établi le théorème suivant : Si un groupe topologique localement compactG agit transitivement et effectivement sur un espace topologique X compact et localementconnexe, alors G possède une structure de groupe de Lie, et X possède unestructure de variété analytique réelle de telle sorte que l’action est analytique ([113] ;[62], pp. 87–88).