Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

228 Division V. Chapitre 21. § 92.l’invariant : Ω(x, y) relativement à tous les mouvements, alors il s’ensuit— à vrai dire en toute généralité — qu’entre leurs 2n coordonnées,il existe une équation indépendante de tous les mouvements, à savoirl’équation :(7) Ω ( x 1 . . .x n ; y 1 . . .y n)= Ω(x01 . . .x 0 n ; y0 1 . . .y0 n),dans laquelle les deux systèmes de valeurs distincts l’un de l’autre :x 0 1 . . .x 0 n et : y1 0 . . .yn, 0 désignent les coordonnées de la paire de points :x 1 . . .x n , y 1 . . . y n dans une situation initiale quelconque bien définie del’espace mobile ; dans certains cas exceptionnels, il peut cependant seproduire que (7) ne représente pas d’équation véritable entre x 1 . . .x n ,y 1 . . .y n , par exemple lorsque le membre de droite de (7) prend uneforme absolument nulle pour certains systèmes de valeurs : x 0 1 . . .x0 n ,y1 0 . . .y0 n .Il s’ensuit de là qu’afin d’épuiser complètement le contenu dudeuxième axiome helmholtzien, nous ne pouvons pas nous contenter,pour toute paire de points, de requérir l’existence d’un invariant, maisnous devons encore ajouter une deuxième exigence, qui peut s’énoncerde la manière suivante :L’invariant Ω ( )x 1 . . .x n , y 1 . . .y n de la paire de points : x1 . . .x n ,y 1 . . .y n doit être constitué de telle sorte que l’équation (7) soit toujoursune équation véritable entre x 1 . . .x n et y 1 . . .y n , quelles que soientles différentes valeurs numériques qu’on puisse donner à x 0 1 . . .x0 n ,y1 0 . . .yn.0Il va de soi que cette exigence doit être satisfaite seulement pourles systèmes de valeurs : x 0 1 . . .x0 n , y0 1 . . .y0 n qui appartiennent à la régionlimitée de l’espace n fois étendu qui a été mentionnéee précédemment.Avant que nous passions à la considération du troisième axiomehelmholtzien, nous voulons auparavant mentionner certaines conséquencesqui se laissent déduire de l’existence de l’invariant Ω(x, y).Supponsons que les équations :(8) x ′ ν = F ν(x1 . . .x n ; t ) (ν = 1 ··· n)et(9) x ′′ν = Φ ν(x′1 . . .x ′ n ; τ) (ν = 1 ···n)représentent deux mouvements continus quelconques de l’espace n foisétendu. Si nous nous imaginons d’abord le mouvement (8) s’accomplissantpendant le temps t, et ensuite le mouvement (9) pendant le temps