Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 295Tome I, p. 599 sq., a une signification très simple : il indique notammentde quelle manière les points :x 0 ν + dx ν = x 0 ν + x ′ ν dt (k =1··· m)infiniment voisins de x 0 1 . . .x0 n sont transformés par le groupe G, aussitôtque l’on fixe le point x 0 1 . . .x0 n . On vérifie cela immédiatement,si l’on pense que les termes du premier ordre dans les transformationsinfinitésimales (4) sont les seuls par lesquelles sont effectivement transformés* les points infiniment voisins du point x 0 1 . . .x0 n .Si maintenant les deux points infiniment voisins x ν et x ν + dx νont, relativement au groupe G, l’invariant ω(x 1 . . .x n , dx 1 . . .dx n ),alors il est clair qu’après fixation du point x 0 ν, le point infinimentvoisin : x 0 ν + dx ν est transformé de telle sorte que l’expression :ω(x 0 1 . . .x0 n , dx 1 . . .dx n ) reste invariante, et donc dans ce cas,ω(x 0 1 . . .x0 n , x′ 1 . . .x′ n ) est un invariant du groupe (5).Si d’un autre côté le groupe (5) possède un invariant : ϕ(x ′ 1 . . .x ′ n),il s’ensuit que deux points infiniment voisins quelconques ont un invariantrelativement au groupe G. En effet, si G est intransitif et siχ(x 1 . . .x n ) est un invariant quelconque de G, alors l’expression :n∑ ∂χ(x)dx ν∂x νν=1est visiblement un invariant des deux points infiniment voisins x ν etx ν + dx ν . Mais si G est transitif, alors en s’imaginant que toutes lestransformations de G s’exercent sur l’expression :ϕ(dx 1 . . .dx n ),on obtient une expression complètement déterminée de cette espèce quiest attachée à chaque point de l’espace, et toutes ces expressions sontéchangeables l’une avec l’autre par les transformations de G, ce qui neveut toutefois rien dire d’autre qu’il y a une expression :ω(x 1 . . . x n , dx 1 . . .dx n )invariante par G, et par conséquent que deux points infiniment voisinsquelconques ont un invariant relativement à G (cf.p. 287).*Jusqu’à présent, nous avons habituellement interprété x ′ 1 . . . x′ n comme les coordonnéeshomogènes des ∞ n−1 éléments linéaires passant par le point x 0 1 . . . x0 n ,mais cependant, l’interprétation du groupe (5) que nous indiquons ici, nous l’avonsdéjà mentionnée aussi (cf.p. 238).