Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 95Assertion. La série infinie :ζ νω(ζ) := ∑ 1 − ζ = ∑ 2ν ν1ν1(ζ ν +ζ 3ν +ζ 5ν +ζ 7ν + · · ·) = ∑ k1od k ζ kconverge absolument dans tout disque ∆ ρ = {ζ ∈ C : |ζ| < ρ} derayon ρ < 1 et y définit une application holomorphe univalente ∆ → Cdu disque unité ∆ = {|ζ| < 1} à valeurs dans C qui ne se prolongeholomorphiquement au-delà d’aucun point ζ 0 ∈ ∂∆ := {|ζ| = 1}.En fait, à la place de cette série explicite, on pourrait utiliser aussin’importe quelle autre application de type uniformisante de Riemann 11ζ ↦−→ ω(ζ) =: λ qui établit un biholomorphisme du disque unité ∆ surun domaine simplement connexe Λ := ω(∆) dont le bord est une courbede Jordan nulle part localement analytique réelle 12 . Désignons alors parλ ↦−→ χ(λ) =: ζ l’inverse d’une telle application, et considérons lafamille d’équations de transformations :(x ′ = χ(λ) x ) λ∈Λ .Par construction, |χ(λ)| < 1 pour tout λ ∈ Λ. Toute compositionde x ′ = χ(λ 1 ) x et de x ′′ = χ(λ 2 ) x ′ est de la forme x ′′ = χ(λ) x,avec le paramètre défini de manière unique λ := ω ( χ(λ 1 ) χ(λ 2 ) ) , doncl’axiome de composition de groupe est satisfait. Cependant, il n’y a ànouveau pas d’élément identité, et à nouveau, aucune transformationne possède un inverse. Et de plus crucialement (et pour terminer), iln’existe aucun prolongement de cette famille à un domaine plus grand˜Λ ⊃ Λ qui soit accompagné d’un prolongement holomorphe ˜χ de χ à ˜Λde telle sorte que ˜χ (˜Λ) contienne un voisinage de {1} (afin d’atteindrel’élément identité), et même a fortiori, il n’existe aucun prolongement11 Le théorème de Riemann énonce que pour tout ouvert connexe et simplementconnexe Λ de C dont le complémentaire C\Λ contient au moins un point, il existeune application biholomorphe — c’est-à-dire holomorphe, bijective et d’inverse holomorphe— χ : Λ → ∆ de Λ sur le disque unité ∆ ⊂ C, appelée uniformisante deRiemann. Le théorème réflexion de Schwarz stipule qu’en tout point λ 0 ∈ ∂Λ du bordde Λ autour duquel ∂Λ est un petit morceau de courbe analytique réelle, l’uniformisanteχ se prolonge holomorphiquement dans un voisinage de λ 0 . Réciproquement, siχ se prolonge holomorphiquement au-delà d’un point du bord de Λ, ce bord est alorsnécessairement analytique réel au voisinage de ce point.12 On peut même considérer un domaine dont le bord est une courbe de Jordancontinue nulle part différentiable, voire dont le bord est un ensemble fractal, commepar exemple le flocon de Von Koch ; on trouvera une présentation concise et lumineusede la théorie de Carathéodoy sur le prolongement au bord des uniformisantes deRiemann dans le Chapitre 17 de [112].