Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Groupes de R 3 pour lesquels deux points ont un seul invariant. 169condition que chaque invariant du groupe doit conserver la même valeurnumérique pour toutes les positions du système de points. Si nousnotons alors x ′ k , y′ k , z′ k la position que prend le point x k, y k , z k après unetransformation quelconque du groupe : X 1 f . . .X m f et si nous nousrappelons que tous les invariants du groupe (6) doivent pouvoir êtreexprimés au moyen des invariants (5), nous reconnaissons par conséquentque les s points (1) peuvent se transformer 11 en tous les points 12 :x ′ k , y′ k , z′ k (k = 1 . . .s) qui satisfont les équations :{ ( ( )J x′λ , y λ, ′ z λ; ′ x ′ µ, y µ, ′ z µ) ′ = J xλ , y λ , z λ ; x µ , y µ , z µ(7)(λ = 1 ··· s − 1; µ=λ+1··· s),et qui sont procurés de telle sorte que le système de valeurs :(1’) x ′ 1 , y′ 1 , z′ 1 : x′ 2 , y′ 2 , z′ 2 ; . . .; x′ s , y′ s , z′ sreste dans un certain voisinage du système de valeurs (1).Si nous fixons 13 maintenant les s − 1 premiers points (1) :x ′ k = x k, y ′ k = y k, z ′ k = z k(k = 1 ···s −1),alors les conditions (7) pour lesquelles λ et µ sont tous deux < s sontsatisfaites automatiquement, et il ne reste plus que les s −1 conditions :{ ( ( )J xλ , y λ , z λ ; x ′ s, y s, ′ z s) ′ = J xλ , y λ , z λ ; x s , y s , z s(8)(λ = 1,2··· s − 1),Ω 1 (x), . . . , Ω n−q (x) découpant l’espace en le feuilletage :Ω 1 (x) = const 1 , . . . , Ω n−q (x) = const n−qqui reste stable par l’action du groupe. Alors l’action du groupe est localement transitiveen famille sur les feuilles Ω k (x) = const k , k = 1, . . . , n − q. De plus, l’exigencehelmholtzienne reformulée abstraitement par Lie demande que les positions(x ′ 1, . . . , x ′ n) que peut prendre (x 1 , . . . , x n ) par l’action du groupe soient entièrementdéterminées par les fonctions invariantes J, lesquelles satisfont J(x ′ 1 , . . . , x′ n ) =J(x 1 , . . . , x n ) pour toute transformation finie x ′ i = f i (x 1 , . . . , x n ; a 1 , . . . , a m ) dugroupe recherché.11 Les s points p 1 , . . . , p s mutuellement en position générale de coordonnées(x λ , y λ , z λ ), λ = 1, . . .,s, sont transformés par le groupe (inconnu, que l’on recherche)en des points (x ′ λ , y′ λ , z′ λ) de telle sorte qu’une « pseudodistance » soitconservée : J(p ′ λ , p′ µ) = J(p λ , p µ ), et c’est cette seule hypothèse qui va « faire naître »les 11 groupes possibles collectés dans le Théorème 37, p. 215.12 Les points sont représentés par leurs coordonnées qui sont des systèmes devaleurs.13 Fixer un ou plusieurs points signifie considérer le sous-groupe consistant seulementen les transformations ponctuelles qui fixent ce ou ces points.