Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

6 1.4. Le mystère des notions primitives de la géométriePlus de la moitié de l’œuvre fascinante de Riemann est en effet constituéede travaux qu’il jugeait inaboutis et qu’il s’est refusé, pour cette raison,à publier 16 . D’un point de vue philosophique, la règle riemanniennede direction de l’esprit consiste donc à rassembler des éléments qui nesont pas compris, à formuler des questions réflexives les concernant, àrenverser les interrogations spéculatives, à désigner les questions nonrésolues. Comme Socrate, Riemann exprime qu’il ne sait pas ; cet étatde fait qui est impersonnel et universel, le mathématicien doit l’accepter,puisqu’il fait partie intégrante de l’essence même des mathématiques.Une telle posture générale s’apparente donc plus à une volontéd’ignorance qu’au doute systématique de Descartes, à ceci près que lavolonté d’ignorance, en mathématiques, ne peut pas être une aporétiquede principe comme l’est la maïeutique socratique, puisqu’elle doit déboucherà terme sur des propositions rigoureuses, sur des théorèmes, surdes connaissances adéquates. Analyser la métaphysique des mathématiquesque nous a léguée Riemann, c’est d’une certaine manière entrerdans une topologie de l’ouverture acceptée de la pensée.1.4. Le mystère des notions primitives de la géométrie. D’aprèsClifford ([31], p. 565), « C’est Riemann qui le premier a accompli latâche d’analyser toutes les hypothèses de la géométrie, et de montrerleur indépendance mutuelle ».Au commencement de son discours, Riemann annonce en effetque la Géométrie classique d’Euclide admet comme données préalablesles concepts de point, de droite, d’espace, ainsi que les notions d’incidence,d’angle et d’intersection. De toutes ces notions, elle ne donneque des définitions nominales, implicites sur le plan logique 17 . En ce quiconcerne les représentations mentales, les axiomes qui donnent naissanceaux relations démonstratives fondamentales sont toujours soustendus,en filigrane, par un réseau d’intuitions archaïques ; et parce que16 Autre exemple dans le domaine de la création littéraire, analysé par RolandBarthes ([7], p. 343) : « Flaubert (1871, 50 ans) : ‘Comme si de rien n’était, je prendsdes notes pour mon Saint Antoine [ce sera la troisième version], que je suis bien décidéà ne pas publier quand il sera fini, ce qui fait que je travaille en toute liberté d’esprit’[Lettre à Ernest Feydeau, 8 août 1871] ; problème bien énoncé [. . .]. ‘Ne pas publier’,sorte de figure mi-rhétorique, mi-magique, utilisée par beaucoup d’écrivains. »17 D’après Euclide, un point est ce qui est sans partie ; une ligne est une longueursans épaisseur ; un angle est l’inclinaison l’une sur l’autre de deux lignes. D’inspirationmétaphysique et procédant par prédication négative, les deux premières définitionsoccultent en effet la question de savoir où et comment asseoir ou fonder cesconcepts qui doivent par ailleurs rester opératoirement évidents pour tout géomètre.