Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 69court passage tout aussi délicat 34 que le déterminant du système doits’annuler :∣ a 0 b 0 c 0 ∣∣∣∣∣(4) 0 =a 1 b 1 c 1 .∣ a 2 b 2 c 2Dans son approche du problème, Helmholtz semble connaître etmaîtriser la théorie qui permet de résoudre les systèmes linéaires homogènesd’équations différentielles ordinaires d’ordre 1, théorie que Lieappliquera ensuite très fréquemment. Résumons brièvement les résultatsdans un langage contemporain, en admettant le théorème de réductiondes matrices à une forme normale de Jordan (cf. [20] pour unhistorique).L’annulation du déterminant montre qu’une valeur propre aumoins de la matrice vaut zéro. Helmholtz démontre avec clarté queles deux autres valeurs propres λ 2 et λ 3 (éventuellement égales) sontnécessairement imaginaires pures conjuguées l’une de l’autre 35 et nonnulles. En effet, la solution au système (3) de condition initiale le point(x 0 , y 0 , z 0 ) est donnée par l’exponentielle de matrice e Mt appliquée à cepoint, vu comme vecteur colonne. Après un changement de base éventuel,les trois éléments diagonaux de la matrice e Mt sont : e 0 t , e λ 2t ete λ 3t . Dès que la partie réelle de λ 2 ou celle de λ 3 est non nulle, il est impossibleque le mouvement à un paramètre représenté par le système (3)soit périodique, comme le demande l’axiome de monodromie, puisque34 Paul Hertz, qui a bénéficié d’échanges épistolaires avec le professeur Engel, reconstituel’argument ([76], pp. 67–68). Pour tout deuxième point (x 0 , y 0 , z 0 ) distinctde l’origine, le troisième axiome helmholtzien demande qu’un mouvement à un paramètresoit encore possible. Puisque les quantités numériques p ′ , p ′′ , p ′′′ et x 0 , y 0 , z 0sont toutes deux au nombre de trois, Helmholtz semble admettre que tous les systèmes(3) correspondent biunivoquement avec les mouvements qui fixent deux pointsdistincts. Alors pour tout tel deuxième point donné (x 0 , y 0 , z 0 ) distinc de l’origine,on doit pouvoir choisir une certaine dépendance linéaire de (p ′ , p ′′ , p ′′′ ) par rapport àun paramètre η tel que le système (3) décrive précisément tous les mouvements fixantl’origine et le deuxième point (x 0 , y 0 , z 0 ). On en déduit donc un système d’équationslinéaires :0 = dx0dη = a 0x 0 + b 0 y 0 + c 0 z 00 = dy0dη = a 1x 0 + b 1 y 0 + c 1 z 00 = dz0dη = a 2x 0 + b 2 y 0 + c 2 z 0qui implique l’annulation du déterminant (4).35 Ceci découle directement du fait que la matrice est réelle. Comme ses valeurspropres sont alors distinctes, elle est diagonablisable sur C.