Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 119Grâce à l’hypothèse principale concernant les a k , nous pouvons remplacerla seconde somme du membre de gauche par da k, et nous obtenonsdtainsi des identités :r∑ ∂f i da kr∑∂a k dt ≡ λ j ξ ji (f 1 , . . .,f n ) (i =1... n)k=1j=1dans la partie gauche desquelles nous reconnaissons une simple dérivationpar rapport à t :df idt = d [ ( )]r∑fi x; a(t, λ) ≡ λ j ξ ji (f 1 , . . ., f n )dtj=1(i = 1 ...n).Mais puisque f ( x; a(0, λ) ) = f(x; e) = x est soumis à la même conditioninitiale que la solution h ( x; t, λ ) du système (6), lorsque t = 0,l’unicité des solutions à un système d’équations différentielles ordinairesdu premier ordre implique immédiatement la coïncidence annoncée: f ( x; a(t, λ) ) ≡ h ( x; t, λ ) .□Démonstration du Théorème 8 p. 117. Ici exceptionnellement, nousavons observé une légère incorrection technique (la seule que nous ayons pudécouvrir !) dans la preuve écrite par Engel ∣ et par ∣ Lie ([40], pp. 62–65) au sujetdu lien entre le rang générique de X ∣x 1 ,...,X ∣x r et une borne inférieure pourle nombre des paramètres essentiels 31 .L’idée géométrique principale de Lie est astucieuse et pertinente : elleconsiste à introduire exactement r — le nombre des λ k — copies du mêmeespace x 1 ,... ,x n dont les coordonnées seront notées x (µ)1 ,... ,x(µ) n pour µ =1,... ,r et à considérer la famille des équations de transformations qui sontinduites par les mêmes équations de transformations :x (µ)i′= exp(C)(x(µ)i)= hi(x (µ) ; λ 1 ,...,λ r)(i = 1 ···n; µ=1···r)dans chaque copie de l’espace, avec le paramètre « temporel » t = 1, oùl’on pose pour abréger h(x; λ) := h(x; 1,λ). Géométriquement, on voitainsi de quelle manière les équations de transformations initiales x ′ i =h i (x; λ 1 ,... ,λ r ) agissent simultanément sur les r-uples de points. Si on les31 À la page 63, il est dit que si le nombre r de transformations infinitésimalesindépendantes X k est n, alors la matrice ( ξ ki (x) ) 1in(de taille r × n) de leurs1krcoefficients est de rang générique égal à r, mais cette assertion est contredite pourn = r = 2 par les deux champs de vecteurs x ∂∂x + y ∂ ∂∂yet xx∂x + xy ∂∂y . Toutefoisles idées et les arguments de la preuve présentée (qui ne nécessite en fait pas de telleassertion) sont parfaitement corrects.