Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

302 Division V. Chapitre 23. § 102.passant par P , alors toutes les pseudosphères passant par P se couperaientgénéralement en la courbe C ; si donc l’on fixait P , la courbe Cpassant par P resterait elle aussi nécessairement au repos. Mais nousavons démontré à l’instant que cela est impossible. On obtient donc queles trois pseudosphères de centres P 1 , P 2 et P 3 qui passent par P ontseulement le point P en commun, mais n’ont pas en commun de courberéelle passant par ce point. Si maintenant nous fixons les trois points P 1 ,P 2 et P 3 , alors P peut en tout cas se mouvoir seulement sur la variétéintersection[Schnittmannigfaltigkeit] des trois pseudosphères passantpar P centrées en P 1 , P 2 et P 3 , et comme cette variété-intersection neconsiste qu’en le point P , ce point P doit rester au repos. En d’autrestermes : dès qu’on fixe trois points réels qui sont mutuellement en positiongénérale, tous les points de R 3 restent généralement au repos.Maintenant, puisque G est transitif et puisqu’après fixation d’un point,chaque autre point réel en position générale peut encore décrire une surface,la fixation de trois point revient à imposer au plus six conditions.Donc le groupe G est fini, et pour préciser, il a au plus six paramètres.Si nous fixons un point réel P en position générale, alors la variétéprojective des ∞ 2 éléments linéaires passant par P se transformepar l’action d’un groupe projectif réel g, qui a visiblement au plus troisparamètres. Mais maintenant, d’après notre détermination de tous lesgroupes projectifs réels du plan (voir p. 106 sq. et p. 380 sq.), nous obtenonsque chaque groupe projectif réel du plan qui a moins de trois paramètreslaisse au repos au moins un point réel. Si donc g avait moins detrois paramètres, il laisserait au repos au minimum un élément linéaireréel passant par P , et il découlerait de là que G serait réel-imprimitif,alors qu’il doit cependant être réel-primitif. Par conséquent g a exactementtrois paramètres, à la suite de quoi G a exactement six paramètres.Ainsi :Si un groupe réel G satisfait nos Axiomes III et IV, alors il est réelprimitifà six paramètres ; en outre, deux points finiment éloignés l’unde l’autre ont, relativement à son action, seulement un invariant ; et parailleurs, G est constitué de telle sorte que les ∞ 2 éléments linéairesréels passant par chaque point réel fixé en position générale sont transforméspar l’action d’un groupe à trois paramètres.Avant toute chose, nous devons maintenant établir quelles sont lesdifférentes formes que peut prendre le groupe g défini ci-dessus. Noussavons que g a trois paramètres et qu’il ne laisse invariant aucun élémentlinéaire. Si donc nous rapportons projectivement les ∞ 2 éléments