Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

210 Division V. Chapitre 20. § 89.doit encore distinguer trois cas, selon que cette surface du second degréest imaginaire, ou réelle et non réglée, ou réelle et réglée.À présent, nous recherchons tous les groupes réels à six paramètresqui sont semblables 5 à l’un des groupes : [1] . . . [4].Comme chacun des groupes : [1] . . . [4] laisse invariante seulementla famille : x = const., y = const., mais nulle autre famille de ∞ 2courbes, chaque groupe réel à six paramètres : X 1 f . . .X 6 f qui est semblableà l’un d’entre eux, laisse invariante une et seulement une famillede ∞ 2 courbes. De plus, cette famille doit nécessairement être réelle, carsi elle était imaginaire, la famille des courbes imaginaires conjuguéesresterait aussi invariante par le groupe : X 1 f . . .X 6 f, puisqu’il est réel,et il y aurait alors deux familles invariantes distinctes, ce qui ne peutpas être le cas. Par une transformation ponctuelle réelle, nous pouvonsmaintenant transformer cette unique famille existante de ∞ 2 courbes enla famille : x = const., y = const., et par là, nous pouvons — dès ledébut — rapporter le groupe réel : X 1 f . . .X 6 f à la forme :X k f = ξ k (x, y) p + η k (x, y) q + ζ k (x, y, z) r(k =1, 2 ···6),où naturellement les ξ k , η k , ζ k sont des fonctions réelles de leurs arguments.Comme précédemment (voir p. 185), on obtient maintenant aussiles six transformations infinitésimales :X k f = ξ k (x, y) p + η k (x, y) q (k = 1 ···6),qui forment évidemment un groupe réel dans l’espace des deux variablesx, y ; et grâce au raisonnement de la page 186, on comprendimmédiatement que ce groupe réduit doit possèder au moins cinq paramètreset que, si on l’interprète comme un groupe agissant sur un plan,alors chaque famille réelle ou imaginaire de ∞ 1 courbes qu’il laisseinvariante doit être transformée par une action à trois paramètres.Si maintenant le groupe réduit : X 1 f . . .X 6 f ne laisse invarianteabsolument aucune famille de ∞ 1 courbes dans le plan, alors d’aprèsles pages 370 sq., il est semblable, via une transformation ponctuelleréelle, à l’un des deux groupes : (I), p. 188 et (V), p. 199. Si, d’un autrecôté, il laisse invariante seulement une famille de ∞ 1 courbes, alorscette famille est nécessairement réelle et par suite, sur la base des développementsdes pages 378 sq., le groupe peut être rapporté, via une5— par une transformation ponctuelle complexe —