Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

244 Division V. Chapitre 21. § 94.transformation infinitésimale 8 : (x 0 y−y 0 x) r, et dont les équations finiessont par conséquent de la forme :x ′ = x, y ′ = y, z ′ = z + t(x 0 y − y 0 x).Mais alors ici, le point x, y, z ne retourne manifestement jamais à saposition initiale, quand t croît continuellement à partir de zéro.D’autre part, afin de nous persuader que le groupe (24) satisfaitl’axiome de monodromie, nous devons examiner d’un peu plus près lesmouvements de ce groupe.Si l’on fixe un point x 0 , y 0 , z 0 relativement à l’action dugroupe (24), alors chaque autre point x, y, z se meut en général d’unemanière complètement libre sur la pseudosphère 9 :(25){(x − x0 ) 2 + (y − y 0 ) 2} e −z = const.centrée en ce point : x 0 , y 0 , z 0 ; seuls les points de la droite : x = x 0 ,y = y 0 , qui constitue évidemment une pseudosphère par elle-même,font exception, car ils restent entièrement au repos.Si donc nous voulons fixer deux points distincts qui ne restent simultanémentau repos que par l’action d’un sous-groupe à un paramètrede (24), alors nous devons choisir ces points de telle sorte que leur droitede liaison [Verbindungslinie] ne soit pas parallèle à l’axe des z.Deux tels points sont par exemple l’origine des coordonnées et unpoint quelconque x 0 , y 0 , z 0 pour lequel x 0 et y 0 ne s’annulent pas tousdeux. Les équations finies du groupe à un paramètre qui laisse invariants8 À un facteur multiplicatif près, c’est la seule transformation infinitésimale quis’annule en (0, 0, 0) et en (x 0 , y 0 , z 0 ).9 L’unique invariant d’une paire de points a déjà été calculé p. 214 (faire b = 0).