Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

262 Division V. Chapitre 22. § 97.encore être possible ; au contraire, aucun mouvement ne doit plus êtrepossible, aussitôt que l’on a fixé, outre P , un élément linéaire quelconquepassant par P .Nous cherchons maintenant tous les groupes réels continus du planqui possèdent la libre mobilité dans l’infinitésimal en un point réel deposition générale.Soit G un groupe ayant les qualités requises et soit P un point réelde position générale, en lequel G possède la libre mobilité dans l’infinitésimal.Si ensuite g est le plus grand sous-groupe continu de G parlequel le point P reste au repos, chaque élément linéaire réel passant parP doit pouvoir tourner continûment autour de P par l’action de g ; carsi tel n’était pas le cas, g laisserait au moins un de ces éléments linéairesau repos, et g serait alors le plus grand sous-groupe continu de G parlequel le point P et l’élément linéaire en question restent invariants, etg devrait par conséquent se réduire à la transformation identique, alorsque nous avons toutefois supposé qu’après fixation de P , un mouvementcontinu était encore possible.Il découle de là immédiatement que G n’est pas seulement transitif,mais qu’il est même aussi réel-primitif * . Si en effet il était intransitifou s’il était réel-imprimitif, il laisserait invariante une famille réelle decourbes : ϕ(x, y) = const., et alors par conséquent, en même tempsque chaque point réel x, y fixé en position générale, l’élément linéaireréel : dx : dy passant par ce point, qui est déterminé par l’équation :ϕ x dx + ϕ y dy = 0, resterait simultanément au repos ; mais comme,après fixation d’un point P qui se trouve bien sûr aussi en position générale,aucun élément linéaire réel passant par ce point ne doit rester aurepos, nous parvenons ainsi à une contradiction.Il est par ailleurs facile de vérifier que notre groupe est à trois paramètres.En effet, si on fixe le point P et un élément linéaire réel quelconquepassant par ce point, alors aucun mouvement continu n’est encorepossible, et il ne reste donc plus aucun paramètre arbitraire dans legroupe. Comme en outre P , en tant que point de position générale, peutprendre ∞ 2 positions différentes à cause de la transitivité du groupe,et comme, après fixation de P , les éléments linéaires réels passant parP peuvent encore tourner tout autour de P , la fixation du point et de* Par souci de brièveté, nous appelons réel-primitif tout groupe réel qui est primitif,dès qu’on se restreint au domaine réel, bien qu’il puisse être imprimitif dans ledomaine complexe (cf. p. 363).