Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 75linéarisée, tout élément linéaire subit une transformation qui le ramèneà se retrouver dans la même direction après un temps fini.Dans ces conditions, si l’on demandait de plus que chaque élémentlinéaire revienne coïncider avec lui-même après un temps fini, leraisonnement de Helmholtz s’appliquerait encore à quelques modificationsmineures près. En effet, soit Y := λ 1 Y 1 +λ 2 Y 2 +λ 3 Y 3 une combinaisonlinéaire quelconque des Y k à coefficients réels λ 1 , λ 2 , λ 3 nontous nuls. Les valeurs propres de la matrice 3×3 des coefficients (réels)de Y par rapport à (x − x 0 ), (y − y 0 ), (z − z 0 ) sont ou bien réelles, oubien complexes conjuguées par paires, et jamais toutes nulles puisque legroupe linéaire réduit Y 1 , Y 2 , Y 3 est de dimension trois. Lorsqu’elles nesont pas toutes réelles, deux seulement peuvent être complexes conjuguées43 , la dernière étant réelle. Par un raisonnement basée sur la formenormale de Jordan de cette matrice (comme chez Helmholtz), on seconvainc alors aisément que la périodicité stricte du mouvement n’estpossible que si deux valeurs propres sont imaginaires pures non nullesconjuguées l’une de l’autre, tandis que la troisième est nécessairementnulle. En appliquant cet énoncé à Y = Y k pour k = 1, 2, 3, on trouvealors trois rotations d’axes linéairement indépendants qui engendrentle groupe SO 3 (R) : c’est le groupe d’isotropie linéarisée en tout point,première étape de la démonstration (la seconde étape est en fait absentechez Helmholtz).Toutefois, ce n’est pas du tout de cette manière-là que Engel etLie approchent le problème. Dans cette Division V terminale de leurouvrage, ils peuvent se « payer le luxe » de convoquer pleinement lesthéorèmes de classification qu’ils ont mis au point auparavant afin defaire voir que la caractérisation des groupes d’isotropie linéarisée tombecomme un fruit mûr par un simple examen des listes et des théorèmesqui ont été établis précédemment.En effet (cf. le § 95 p. 248 ci-dessous), l’isotropie linéarisée d’unpoint en position générale que l’on place au centre (i.e. à l’origine) d’unnouveau système de coordonnées (x ′ 1 , x′ 2 , x′ n ) sera représentée par troisgénérateurs infinitésimaux indépendants :1,2,3∑µ να kµν x ′ µ p ′ ν (k = 1,2, 3),43 — puisque 3 est le nombre total de valeurs propres comptées avec multiplicité—