Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 3. Théorèmes fondamentaux sur les groupes de transformations 127cet opérateur que l’on appellera crochet 32 (de Jacobi ou de Lie) entreX 1 et X 2 et qui est bien sûr antisymétrique par rapport à ses deux arguments.[ ] Toute solution f de[ X 1 f = ] X 2 f = 0 est alors solution deX1 , X 2 f = 0. L’opérateur X1 , X 2 s’ajoute alors en quelque sortegratuitement aux équations initiales. C’est donc un deuxième principe :engendrement du tiers par antisymétrisation de la dyade. En résumé, ona une :Observation fondamentale. Si une fonction ψ(x 1 , . . .,x n ) satisfait lesdeux équations aux dérivées partielles du premier ordre :X k (f) =n∑i=1ξ ki (x 1 , . . .,x n ) ∂f∂x i= 0 (k = 1, 2),alors elle satisfait aussi l’équation différentielle du premier ordre :(X 1 X2 (f) ) (− X 2 X1 (f) ) n∑ [= X1 (ξ 2i ) − X 2 (ξ 1i ) ] ∂f= 0.∂x ii=1Question suscitée [dans l’arbre de scindage de l’irréversible-synthétique]: l’opérateur [ X 1 , X 2]apporte-t-il, ou n’apporte-t-il pas d’informationnouvelle ? En admettant les principes de pensée que nousavons formulés p. 79 sq., la réponse est simple. S’il existe deux fonctions(analytiques) χ 1 (x) et χ 2 (x) telles qu’on peut réécrire (après relocalisationéventuelle) :[X1, X 2]= χ1 X 1 + χ 2 X 2 ,alors le fait que toute solution f de X 1 f = X 2 f = 0 est aussi solutionde [ X 1 , X 2]f = 0 sera une conséquence triviale des hypothèse etn’apportera aucune connaissance nouvelle, puisque de X 1 f = X 2 f = 0on déduit immédiatement par des opérations algébriques non différentielles:χ 1 X 1 f = χ 2 X 2 f = 0 puis χ 1 X 1 f + χ 2 X 2 f = 0.32 Hawkins [68] relate la réinterprétation de ce concept dans les premiers travauxde Lie sur l’intégration des systèmes d’équations aux dérivées partielles. Dans la Theorieder Transformationsgruppen, c’est peu fréquemment que Engel et Lie nomment lefameux « crochet » souvent considéré comme une étape de calcul ; en certains endroits,ils l’appellent « combinaison » [Combination] (entre deux transformations infinitésimales),ou simplement « équation » [Gleichung], et à la fin du traité, ils utilisent engénéral la terminologie [Klammeroperation], « opération de crochet », ou « de parenthésage». Il est noté (X 1 X 2), toujours avec des parenthèses simples, sans le symbolede fonction f, et sans virgule, sauf quand les deux éléments insérés sont des champsde vecteurs en coordonnées.