Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Avant-proposxixVoici pour terminer une brève description du contenu de ce livre.Deux chapitres constituent l’Introduction philosophique générale (PartieI) qui est suivie d’une Introduction mathématique à la théorie deLie (Partie II), utile pour aborder notre traduction de la Division V duTome III de la Theorie der Transformationsgruppen (Partie III).Dans le premier chapitre que nous consacrons à un commentairedétaillé et ciblé de la célèbre leçon orale d’habilitation [Probevorlesung]de Riemann (1854, [132], non publiée de son vivant), nous insistons, ennous servant notamment des études de Erhard Scholz [140, 142], sur lacapacité si particulière que Riemann avait d’ouvrir sans les fermer lesquestions de conceptualisation mathématique. À la fin de l’année 1868,Helmholtz obtint une copie des notes manuscrites que Schering avaitprises pendant la soutenance de Riemann, et il publie rapidement uneétude ([73]), maintenant centrale pour l’histoire des fondements de lagéométrie, dans laquelle il prétend pouvoir démontrer rigoureusementque la postulation — physiquement évidente sinon métaphysiquementnécessaire — de corps rigides et néanmoins maximalement mobilesdans un espace abstrait quelconque implique l’existence d’une métriqueriemannienne à courbure constante : inversion, donc, des points de vuede Riemann, Christoffel et Lipschitz pour qui les métriques quadratiquespossibles sont innombrables, puisqu’elles dépendent du comportementdes invariants différentiels dérivés de la courbure. Toutefois, lesarguments embryonnaires, riches d’idées nouvelles, de Helmholtz, sonten grande partie erronés ou incomplets, et il fallut attendre les travauxde Lie [99, 100, 101, 102, 103] pour qu’ils puissent être inscrits dansune vaste théorie. La traduction que nous proposons ici aura le mérite,nous l’espérons, de porter au moins à la connaissance des commentateursfrancophones de Helmholtz la discussion critique par Lie de lapertinence des axiomes helmholtziens, voir notamment l’introduction àla Division 5 au début de la Partie III, p. 159, et aussi le Chapitre 21p. 220. Enfin, notre Partie II est consacrée à une présentation des théorèmesfondamentaux de la théorie de Lie qui se base exclusivement surle très systématique Volume I [40] de la Theorie der Transformationsgruppen,sans faire appel aux manuels modernes.Non germaniste, l’auteur a bénéficié d’aides ponctuelles et utilesconcernant quelques difficultés de traduction, notamment de la part deMaud Moreillon (Besançon), d’Egmont Porten (Berlin) et de Jean Ruppenthal(Wuppertal). Françoise Panigeon a régulièrement contrôlé lacorrection lexicale et grammaticale du texte dans son ensemble, quilui doit donc beaucoup. Toute notre reconnaissance s’adresse aussi à