Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

Chapitre 2. La mobilité helmholtzienne de la rigidité 59implicitement plongé dans R n , sans phénomène topologique, sans discontinuité,sans condition au bord, sans contrainte spécifique. L’étudedes exceptions est potentiellement réservée à des analyses ultérieures.II : Axiome de l’existence des corps rigides mobiles. Cetaxiome exprime l’idée nouvelle principale de Helmhotz. Pour que l’espacesoit physiquement mesurable, on présuppose l’existence de systèmesde points rigides en eux-mêmes, et néanmoins susceptibles d’êtredéplacés (axiome III) :mobilité de la rigidité.Mais quelle est ici la définition mathématique précise de la « rigidité » ?Impossible de demander qu’il s’agisse d’une distance, au sens euclidienou métrique du terme, puisque c’est justement l’euclidéanité locale queHelmholtz cherche à démontrer à partir d’axiomes abstraits et naturels.Herméneutique indécise de la position d’hypothèses, ou nécessitéde réaliser une assomption en généralité pour engendrer des essenceshypothétiques d’ordre supérieur : il faut donc formuler un axiome quine demande presque rien d’explicite, et qui s’inscrive a priori dans untrès grand univers de potentialités mathématiques.L’espoir, via une démonstration synthétique éventuellementlongue et difficile, est de se persuader qu’une notion très archaïque de« stabilité-rigidité » dans le mouvement redonnera celle qui semble laplus naturellement transmise dans l’expérience physique, à savoir larigidité euclidienne. On est en pleine exploration métaphysique desconditions d’aprioricité du savoir physico-mathématique. On rechercheen quelque sorte des signes qui confirmeraient l’existence de véritésprofondes (et vraisemblablement cachées), lesquelles vérités profondespourraient répondre à la question très importante d’un « pourquoi »,à savoir : « Pourquoi l’espace physique est-il tridimensionnel et euclidien» ? Avec son hypothèse de corps rigides, Helmholtz recherchedonc un « parce que » qui s’élève plus haut dans l’échelle métaphysiquequ’une simple confirmation expérimentale basée sur des mesuresmicroscopiques ou sur des mesures astronomiques.La définition de Helmholtz est à la fois intuitive et très générale :il doit exister une certaine fonction à deux arguments qui est définiesur la totalité de toutes les paires de points appartenant au corps rigideet qui satisfait la propriété d’invariance suivante : pour toute paire depoints fixée à l’avance, la valeur de cette fonction sur les deux pointsen question devra rester invariable au cours de tous les mouvementspossibles (axiome III) du corps en question.