Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens
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258 Division V. Chapitre 21. § 96.diverses. Cela rési<strong>de</strong> dans la nature <strong>de</strong>s choses : Monsieur <strong>de</strong> Helmholtz,qui n’avait pas à sa disposition <strong>le</strong>s concepts <strong>et</strong> la langue spécialisée instruite<strong>de</strong> la théorie <strong>de</strong>s groupes, a dû s’ai<strong>de</strong>r <strong>de</strong> longues circonlocutionspar <strong>le</strong>squel<strong>le</strong>s, cependant, il n’a pas pu prendre en compte toutes <strong>le</strong>sexceptions imaginab<strong>le</strong>s ; ainsi, il est tout à fait compréhensib<strong>le</strong> que sesaxiomes apparaissent avoir d’autant plus <strong>de</strong> sens variés qu’on <strong>le</strong>s examineplus soigneusement. Maintenant, bien que nous n’affirmions pasavoir donné la seu<strong>le</strong> interprétation possib<strong>le</strong> <strong>de</strong>s axiomes helmholtziens,nous croyons toutefois que nous <strong>le</strong>ur avons attribué l’interprétation laplus intéressante qui soit, cel<strong>le</strong> qui est en accord avec <strong>le</strong>ur teneur ; nousy avons même déjà trop introduit maint <strong>le</strong>cteur.Nous ne voulons pas rentrer plus avant dans la considération <strong>de</strong>sdiverses conceptions que l’on peut avoir au suj<strong>et</strong> <strong>de</strong>s axiomes helmholtziens; toutefois, nous voulons encore en discuter brièvement.En eff<strong>et</strong>, la manière dont on peut interpréter ces axiomes dépendpour l’essentiel du fait <strong>de</strong> savoir si on lit en eux qu’ils doivent être valab<strong>le</strong>ssans exception à l’intérieur d’une certaine région, ou si l’on adm<strong>et</strong>qu’ils doivent être valab<strong>le</strong>s seu<strong>le</strong>ment en général, donc pour <strong>de</strong>s pointsqui sont mutuel<strong>le</strong>ment en position généra<strong>le</strong>. Dans <strong>le</strong>s paragraphes 92<strong>et</strong> 93, nous nous sommes décidés pour la première conception, maisla <strong>de</strong>uxième possè<strong>de</strong> aussi une certaine légitimité, au moins en ce quiconcerne <strong>le</strong> troisième axiome helmholtzien, l’axiome sur la libre mobilité.Afin <strong>de</strong> montrer quel<strong>le</strong> influence c<strong>et</strong>te conception a sur la portée <strong>de</strong>saxiomes helmholtziens, nous voulons fina<strong>le</strong>ment rechercher encore cequi advient lorsque <strong>le</strong>s axiomes helmholtziens sont satisfaits seu<strong>le</strong>mentpar <strong>de</strong>s points qui sont mutuel<strong>le</strong>ment en position généra<strong>le</strong>. Nous allonsvoir que ces axiomes ne suffisent alors pas à caractériser <strong>le</strong>s mouvementseuclidiens <strong>et</strong> non-euclidiens, même si on adm<strong>et</strong> en plus l’axiome<strong>de</strong> monodromie.Si un groupe réel doit satisfaire <strong>le</strong>s axiomes helmholtziens seu<strong>le</strong>menten ce qui concerne <strong>de</strong>s points qui sont mutuel<strong>le</strong>ment en positiongénéra<strong>le</strong>, alors il doit, quand on fait d’abord abstraction <strong>de</strong> l’axiome <strong>de</strong>monodromie, possé<strong>de</strong>r <strong>le</strong>s propriétés suivantes : si un point en positiongénéra<strong>le</strong> est fixé, tout autre point en position généra<strong>le</strong> se meut librementsur une surface ; si <strong>de</strong>ux points qui sont mutuel<strong>le</strong>ment en position généra<strong>le</strong>sont fixés, tout autre troisième point en position généra<strong>le</strong> se meutlibrement sur une courbe ; si trois points qui sont mutuel<strong>le</strong>ment en positiongénéra<strong>le</strong> sont fixés, tous <strong>le</strong>s points restent au repos. Il est clair que<strong>le</strong>s groupes rassemblés à la page 215 satisfont toutes ces exigences <strong>et</strong>qu’ils sont <strong>le</strong>s seuls à <strong>le</strong>s satisfaire.