Sophus Lie, Friedrich Engel et le problème de Riemann ... - DMA - Ens

304 Division V. Chapitre 23. § 102.en les x, y, z (voir le Tome II, p. 405), et nous reconnaissons immédiatementque parmi ces transformations, il y en a seulement quatre parlesquelles les deux éléments linéaires (7) restent invariants et à partirdesquelles on ne peut déduire, par combinaison linéaire, aucune transformationdu second ordre ou d’un ordre supérieur, et ce sont les quatre :yp −xq + · · · , xp+yq +2zr + · · · , zp+· · · , zq + · · · ,où les termes supprimés sont d’ordre deux ou supérieur par rapport àx, y, z. Si nous tenons compte du fait que notre groupe G ′ contient précisémenttrois transformations infinitésimales indépendantes du premierordre et que celles-ci ne doivent laisser au repos aucun élément linéairepassant par l’origine des coordonnées, alors nous trouvons facilementque les transformations infinitésimales de G ′ , qui laissent au repos l’originedes coordonnées, ont la forme :yp − xq + c (xp + yq + 2zr) + · · · , zp + · · · , zq + · · · .En outre, en tant que groupe transitif, G ′ contient naturellement encoretrois transformations infinitésimales d’ordre zéro de la forme :(8) p + · · · , q + · · · , r + · · · .Le groupe linéaire homogène, que G ′ associe à l’origine des coordonnées(cf. p. 294), est évidemment de la forme :(9) y ′ p ′ − x ′ q ′ + c (x ′ p ′ + y ′ q ′ + 2z ′ r ′ ), z ′ p ′ , z ′ q ′ .Mais maintenant, deux points finiment éloignés l’un de l’autre doiventavoir un invariant par rapport à G ′ , donc d’après les pages 294 sq., legroupe linéaire homogène (9) doit posséder un invariant, ce qui ne peutmanifestement se produire que si c s’annule, et par conséquent on obtientqu’en dehors des transformations (8), G ′ en contient encore troisde la forme :(10) yp − xq + · · · , zp + · · · , zq + · · · ,et chaque transformation infinitésimale de G ′ peut être exprimée parcombinaison linéaire à partir de ces six-là.Rappelons maintenant à ce sujet que les transformations infinitésimalesde G peuvent aussi être interprétées comme transformations decontact infinitésimales du plan x, z, et qu’à chacune de ces transformationsde contact infinitésimales est associée une fonction caractéristiquepar laquelle elle est parfaitement déterminée. En particulier, les fonctionscaractéristiques des transformations (10) s’énoncent de la manière