Sophus Lie, Friedrich Engel et le problÃ¨me de Riemann ... - DMA - Ens

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306 Division V. Chapitre 23. § 103.l’autre [gleichberechtigt sind], ou sont dualistiques l’un de l’autre ; nous pouvonsdonc supposer que G ′ provient par prolongation du groupe linéaire général:p, r, xp, zp, xr, zrdu plan, et ainsi, que dans les variables choisies x,y,z, il possède la forme :p, r, xp − yq, zp − y 2 q, xr + q, zr + yq.Mais nous avons déjà démontré aux pages 191 sq. au sujet de ce groupe querelativement à lui, deux points finiment éloignés l’un de l’autre n’ont aucun invariant.Ainsi, on obtient à nouveau qu’un groupe G ′ de la nature ici demandéen’existe pas du tout.Il reste encore à traiter le premier des deux cas distingués à lapage 303.Si ce cas se produit, les ∞ 2 éléments linéaires passant par chaquepoint réel fixé en position générale sont transformés par l’action d’ungroupe à trois paramètres, et pour préciser, de telle façon qu’un cônenon-dégénéré du second degré constitué d’éléments linéaires reste invariant.Par conséquent, G laisse invariante une équation réelle de laforme :1,2,3∑µ να µν (x 1 , x 2 , x 3 ) dx µ dx ν = 0,dont le déterminant ne s’annule pas. Maintenant, puisque notre G est àsix paramètres, on obtient, grâce au Théorème 35 p. 391, qu’il peut êtretransformé, via une transformation ponctuelle réelle de R 3 , soit en legroupe des mouvements euclidiens, soit en l’un des deux groupes desmouvements non-euclidiens, soit en l’un des deux groupes suivants :p 1 , p 2 , p 3 , x 1 p 2 − x 2 p 1 , x 2 p 3 + x 3 p 2 , x 3 p 1 + x 1 p 3 ;p 1 + x 1 U 1 , p 2 + x 2 U 2 , p 3 − x 3 U 3 ,x 1 p 2 − x 2 p 1 , x 2 p 3 + x 3 p 2 , x 3 p 1 + x 1 p 3 .Cependant, les deux derniers groupes ne satisfont pas notre Axiome III,car pour ces deux-là l’origine des coordonnées est un point en positiongénérale et une des pseudosphères ayant pour centre l’origine des coordonnées,est la conique :x 2 1 + x2 2 − x2 3 = 0,mais cette pseudosphère passe par son centre, ce qui est justement exclupar l’Axiome III.
Deuxième solution au problème de Riemann-Helmholtz. 307Ainsi on a démontré que les mouvements euclidiens et noneuclidienssont effectivement entièrement caractérisés par les axiomesposés à la page 298.§ 103.Nous allons maintenant montrer que les mouvements euclidiens etnon-euclidiens de R 4 sont entièrement caractérisés, lorsqu’on pose lesaxiomes suivants.I) R 4 est une variété numérique.II) Les mouvements de R 4 forment un groupe réel continu, qui estengendré par des transformations infinitésimales.III) Si l’on fixe un point réel quelconque : y1 0 . . .y0 4 en positiongénérale, alors tous les autres points réels : x 1 , x 2 , x 3 en lesquels unautre point réel : x 0 1 . . .x 0 4 peut encore être transformé, satisfont uneéquation réelle de la forme :(12) W ( y 0 1 . . .y 0 4 ; x 0 1 . . .x 0 4 ; x 1 . . .x 4)= 0,qui n’est pas réalisée pour : x 1 = y 0 1, . . .,x 4 = y 0 4, et qui représente engénéral une variété trois fois étendue passant par le point : x 0 1 . . .x0 4 .IV) Autour du point : y1 0 . . .y0 4 , une région finie quatre fois étenduepeut être délimitée de telle sorte que les conditions suivantes sontsatisfaites : Si l’on fixe le point : y1 0 . . .y0 4 , alors chaque autre pointréel : x 0 1 . . .x 0 4 de la région peut encore être transformé continûmenten tous les points réels : x 1 . . . x 4 qui satisfont l’équation (12). Si l’onfixe, outre le point : y1 0 . . .y0 4 , encore un deuxième point réel : z0 1 . . .z0 4de la région, alors chaque autre point réel : x 0 1 . . .x0 4 de la région peutencore être transformé continûment en tous les points réels : x 1 . . .x 4de la région qui satisfont les deux équations : (12) et :(13) W ( z 0 1 . . .z0 4 ; x0 1 . . .x0 4 ; x 1 . . .x 4)= 0.Avec cela, il est à chaque fois supposé que les deux points : x 0 1 . . .x 0 4 etx 1 . . .x 4 sont reliés l’un à l’autre par une série continue et irréductiblede points de cette sorte.Nous faisons à nouveau remarquer expressément à ce sujet que cesaxiomes contiennent peut-être certains éléments superflus, bien qu’ilsdemandent moins que les axiomes helmholtziens. En effet, Monsieur deHelmholtz demande en plus que lorsque trois points sont fixés, chaquequatrième point est encore complèment libre de se mouvoir, autant que
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