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132 Alexander Roppelt, Christiane Penk, Claudia Pöhlmann und Elke Pietsch
eines Landes liegen. Diese Spanne ist umso kleiner, je homogener die von den
Schülerinnen und Schülern innerhalb eines Landes erreichten Kompetenzen sind.
Im rechten Teil der Abbildungen 5.2 bis 5.7 sind grafische Repräsentationen der
Perzentile zu sehen, die sogenannten Perzentilbänder. Sie veranschaulichen die
Kompetenzverteilungen insgesamt, indem sie einerseits Unterschiede zwischen
den einzelnen Leistungssegmenten hinsichtlich Breite und Lage und andererseits
die Überlappungen der Kompetenzverteilungen der Länder grafisch darstellen.
Die Standardabweichungen der Länder fallen im Fach Mathematik insgesamt
recht homogen aus. Sie reichen auf der Globalskala von 91 Punkten in Niedersachsen
bis zu 105 Punkten in Brandenburg. Die größere Leistungs streuung
in Brandenburg ist auch an der Breite des Kompetenzbandes vom 5. bis zum
95. Perzentil zu erkennen, die 343 Punkte umfasst; in Niedersachsen beträgt der
Unterschied zwischen dem 5. und dem 95. Perzentil dagegen nur 296 Punkte.
Das Bild wiederholt sich in ähnlicher Weise für die einzelnen Leit ideen:
Größere Unterschiede zwischen den Standardabweichungen der Länder und
jener für Deutschland insgesamt kommen nur selten vor. Wo sie auftreten, handelt
es sich überwiegend um Abweichungen nach unten. Diese finden sich primär
in den Ländern Niedersachsen, Thüringen, Saarland und Mecklenburg-Vorpommern,
in denen auch die Streuungen auf der Globalskala unterdurchschnittlich
sind. Die größte Standardabweichung ist mit 110 Punkten für Brandenburg
im Kompetenzbereich Zahl zu verzeichnen.
Perzentile können nicht nur zur Bildung von Indikatoren für die Spannweite
einer Leistungsverteilung verwendet werden, sondern ermöglichen auch einen
Vergleich der sehr schwachen beziehungsweise sehr starken Schülerinnen und
Schüler zwischen den einzelnen Ländern. Im oberen Leistungsbereich erreichen
die Schülerinnen und Schüler in Sachsen, Brandenburg und Bayern insgesamt
die höchsten Kompetenzwerte. Die leistungsstärksten 5 Prozent der Schülerinnen
und Schüler erzielen in diesen Ländern auf der Globalskala mindestens 688
(Sachsen und Brandenburg) beziehungsweise 685 Punkte (Bayern) und liegen damit
durchweg im Bereich der Kompetenzstufe V. Die Jugendlichen in Thüringen
und Sachsen-Anhalt können zwar insgesamt überdurchschnittliche Kompetenzen
vorweisen, die Werte ihrer Schülerinnen und Schüler an der Leistungsspitze unterscheiden
sich jedoch nicht vom Durch schnittswert der Leistungsspitze in
Deutschland insgesamt. Die im Länder vergleich schwächste Leistungsspitze ist
im Saarland zu verzeichnen, wo eine relativ geringe Streuung mit insgesamt unterdurchschnittlichen
Kompetenzen zusammentrifft. Das 95. Perzentil liegt dort
bei 643 Punkten. Für alle Länder gilt, dass die leistungsstärksten 5 Prozent der
Schülerinnen und Schüler auf der Globalskala Kompetenzen erreichen, die rund
eineinhalb Standardabweichungen oder mehr über dem deutschen Mittelwert liegen.
Die Differenz zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Länderwert für
das 95. Perzentil beträgt 45 Punkte.
Am unteren Ende der Leistungsverteilung, hier markiert durch das
5. Perzentil, werden die höchsten Kompetenzwerte in Sachsen und Thüringen erreicht
(373 und 365 Punkte auf der Globalskala). Diesen beiden Ländern gelingt
es im Vergleich mit den anderen Ländern im Fach Mathematik offenbar besonders
gut, nicht nur im Durchschnitt hohe Kompetenzwerte zu erzielen, sondern
gleichzeitig auch den Anteil von Schülerinnen und Schülern mit schwach ausgeprägten
Kompetenzen gering zu halten. Die niedrigsten Werte für das 5. Perzentil
weisen die Stadtstaaten Berlin und Bremen auf (308 und 312 Punkte auf der
Globalskala). Am unteren Ende des Kompetenzspektrums sind die Unterschiede
zwischen den Ländern mit 65 Punkten zudem deutlich größer als am oberen
Ende.