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Martin Hecht, Alexander Roppelt und Thilo Siegle
Hier ist M g,i
der gewichtete Mittelwert über das i-te Set von Plausible
Values. Die so gewonnenen Werte werden nun benutzt, um jeden einzelnen
Personenparameter von der Logitmetrik auf die Ländervergleichsmetrik zu
übertragen. Die inhaltliche Bedeutung der Kompetenzskalen wird durch die
Transformation nicht verändert. Die Transformationsvorschrift ist für jeden
Kompetenzbereich folgendermaßen definiert:
pv LV
= pv Logit
− M g ( )⋅ 100
SD g
+ 500
13.2.4 Bestimmung der Standardfehler
Ein Ziel der IQB-Ländervergleichsstudie ist es, die statistischen Kennwerte
der Kompetenz der Schülerinnen und Schüler (z. B. Mittelwerte, Standardabweichungen,
relative Anteile) möglichst genau, effizient und unverfälscht
zu bestimmen. Da an der Erhebung nicht die gesamte Population, sondern nur
eine Stichprobe aller Schülerinnen und Schüler der 9. Klasse teilgenommen hat,
können die Kennwerte der Population nicht genau bestimmt, sondern nur geschätzt
werden. Deswegen ist neben den resultierenden Werten an sich auch von
Interesse, mit welcher Genauigkeit diese die Populationskennwerte schätzen. Ein
gängiges Maß für die Genauigkeit einer Schätzung ist der Standardfehler, der
als SE (standard error) abgekürzt wird. Dieser ist als Standardabweichung der
Verteilung des geschätzten Kennwerts definiert und gibt demnach an, wie stark
ein Stichprobenkennwert über die verschiedenen Stichproben, die man aus der
Population auswählen könnte, variiert. Damit ist der Standardfehler ein Maß für
die Unsicherheit der Schätzung, die dadurch entsteht, dass nicht die gesamte
Population, sondern nur eine Stichprobe aus der Population zur Verfügung steht.
Ist der Standardfehler groß, handelt es sich beim Stichprobenkennwert um einen
eher unsicheren Schätzer des Populationskennwertes. Deshalb sollte man
Schätzungen mit gro ßen Standardfehlern weniger Vertrauen schenken. Aus diesem
Grund ist es ratsam, bei der Interpretation von Stichprobenkennwerten immer
auch deren Schätzgüte zu beachten.
Zur Bestimmung des Standardfehlers können verschiedene Verfahren verwendet
werden, die sowohl von der Art des Stichprobenkennwertes wie auch
vom Vorgehen bei der Stichprobenziehung abhängen. In unabhängigen Stichproben
lässt sich der Standardfehler des Mittelwertes unmittelbar aus der
Standard abweichung und der Größe der Stichprobe bestimmen. Eine unabhängige
Stichprobe liegt vor, wenn die Schülerinnen und Schüler rein zufällig
aus der Population gezogen wurden. Aus erhebungsökonomischen Gründen
ist ein solches Vorgehen bei großen Schulleistungsstudien in Deutschland
allerdings ausgeschlossen, da in diesem Fall eine logistisch nicht zu bewältigende
Zahl von Schulen einbezogen werden müsste. Deshalb werden in solchen
Studien nicht Schülerinnen und Schüler, sondern Schulen zufällig gezogen. Da
sich Schülerinnen und Schüler innerhalb einer Schule meist ähnlicher sind als
Schülerinnen und Schüler verschiedener Schulen, liegt dann jedoch keine unabhängige
Stichprobe mehr vor, sondern eine sogenannte Cluster-Stichprobe.
Die statistische Herausforderung bei der Bestimmung von Standardfehlern in