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Beschreibung der untersuchten mathematischen Kompetenzen
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Eine weitere Herausforderung für die empirische Modellierung der Struktur
von Mathematikkompetenz ergibt sich daraus, dass sich die verschiedenen allgemeinen
und inhaltlichen Kompetenzen – wie bereits erwähnt – nicht vollständig
trennscharf gegeneinander abgrenzen lassen. Sie weisen an einigen Stellen
Überlappungen und fließende Übergänge auf, wie es oben für Argumentieren und
Kommunizieren beziehungsweise für Messen und Raum und Form exemplarisch
erörtert wurde. Solche Überlappungen sind für die Verzahnung der verschiedenen
Teilkompetenzen in der Unterrichtsarbeit und für den Wissenstransfer sinnvoll
und wünschenswert. Für eine psychometrische Messung, die eine trennscharfe,
auf präzisen Definitionen basierende Operationalisierung der Kompetenzen erfordert,
stellen sie jedoch eine Herausforderung dar (Weirich, Haag & Roppelt,
2012, S. 285). Dieses Problem stellt sich in besonderer Weise für die allgemeinen
mathematischen Kompetenzen, deren spezifische Messung besonders wünschenswert
wäre, weil sie im Mathematikunterricht eine Schlüsselrolle einnehmen sollen.
Da diese prozessbezogenen Kompetenzen aber meist in Kombinationen
zum Einsatz kommen und dabei in komplexer Weise interagieren, ist eine separate
Messung der einzelnen allgemeinen Kompetenzen praktisch nicht oder
nur mit erheblichen Unschärfen möglich. Die inhaltlichen Kompetenzen weisen
zwar ebenfalls gewisse Überlappungen auf, insgesamt lassen sie sich jedoch
relativ gut voneinander abgrenzen, und in den meisten Fällen ist es möglich,
Mathematikaufgaben eindeutig einer einzigen, dominierenden Leitidee zuzuordnen.
Eine separate Messung der inhaltlichen Kompetenzen nach Leitideen ist
deshalb grundsätzlich möglich.
Für große Schulleistungsstudien hat sich deshalb ein Vorgehen etabliert, bei
dem komplexe Strukturmodelle wie jenes der Bildungsstandards leitend bei
der Aufgabenentwicklung und zur Beschreibung der eingesetzten Aufgaben genutzt
werden. Auf diese Weise wird sichergestellt, dass die Zieldomäne hinreichend
differenziert und umfassend mit Testaufgaben abgebildet wird. Bei der anschließend
empirischen Messung der Kompetenzen beschränkt man sich dann jedoch
auf einfachere und dennoch aussagekräftige Modelle. Hierfür haben sich
zwei Ansätze bewährt. 1 In vielen Fällen ist es zur Beschreibung interindividueller
Unterschiede zwischen Schülerinnen und Schülern ausreichend, den Wert
auf einer Globalskala zu betrachten, der Kompetenzausprägungen im Fach
Mathematik jeweils mit einem einzelnen Zahlenwert erfasst. Diese Globalskala
ist für viele Fragestellungen hinreichend aussagekräftig, da die mathematischen
Teilkompetenzen eng miteinander verzahnt sind. Der zweite Ansatz nutzt nach
Inhaltsbereichen getrennte Skalen, also bei Messungen auf der Grundlage der
Bildungsstandards, wie im Ländervergleich 2012, je eine Skala für die fünf
Leitideen. Auf diese Weise ist es möglich, differenziertere Aussagen als mit einer
Globalskala zu treffen.
Beide Ansätze haben sich empirisch bewährt (z. B. Klieme, 2000; Winkel mann
& Robitzsch, 2009), und je nach spezifischer Fragestellung und Datenlage ist zu
entscheiden, welcher der beiden angemessen ist. Hierbei wird nicht angenommen,
dass die auf diese Weise gebildeten Skalen in dem Sinne eindimensional sind,
dass jeweils „alle Aufgaben mithilfe der gleichen kognitiven Prozesse gelöst werden.
Eindimensionalität bedeutet vielmehr im Kern, dass Leistungsunterschiede
1 In der psychometrischen Fachliteratur werden noch weitere, komplexer strukturierte
Modelle diskutiert (z. B. Brunner, 2006; Jasper, 2009; Winkelmann & Robitzsch, 2009).
Solche Modelle erweisen sich zwar durchaus als gut mit den jeweiligen Daten verträglich,
jedoch ist die inhaltliche Interpretation der modellierten Teilfähigkeiten vergleichsweise
schwierig. Für Systemmonitoringstudien wie den Ländervergleich 2012 sind diese
Modelle deshalb weniger geeignet.