Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

90 Capítulo 3: Distribuciones de probabilidad y densidades de probabilidad
ta asignación de probabilidades es congruente con los postulados 1 y 2 de la página 37:
las probabilidades son to d as no negativas y P(S) = ^ = 1. H asta ahora la asig-
¿XjKj
2(X)
nación de probabilidades se aplica sólo a los intervalos sobre el segm ento de línea desde
0 hasta 200, p e ro si usam os el postulado 3, tam bién podem os o b ten er las probabilidades
para la unión de cualquier secuencia finita o infinita num erable de intervalos que
no se traslapan. P o r ejem plo, la probabilidad de que un accidente ocurra en cualesquiera
de dos intervalos que no se traslapan de longitud d, y d2 es
dj + d 2
200
y la probabilidad de que ocurra en uno cualquiera de una secuencia infinita num erable
de intervalos q ue no se traslapan de longitud dx, d2, d3, . . . e s
dx + d2 + d3 + •••
200
Entonces, si aplicam os el teorem a 2.7, podem os am pliar la asignación de probabilidad
a la unión de intervalos que se traslapan, y puesto que la intersección de dos intervalos
es un intervalo y el com plem ento de un intervalo es o un intervalo o la unión de dos
intervalos, podem os am pliar la asignación de probabilidad a cualquier subconjunto del
espacio m uestral que se pueda o b ten er al form ar uniones o intersecciones de finitam ente
o num erablem ente m uchos intervalos o al form ar com plem entos. A
A sí, al am pliar el concepto de probabilidad al caso continuo, hem os usado otra
vez los postulados 1, 2 y 3, pero para hacer esto en general debem os excluir de nuestra
definición de “e v en to ” todos los subconjuntos del espacio m uestral que no se puedan
o b ten er form ando uniones o intersecciones de finitam ente o num erablem ente m uchos
intervalos o form ando com plem entos. H ablando en térm inos prácticos, esto no es im ­
p ortante, ya que sim plem ente no asignam os probabilidades a tales clases de conjuntos
de difícil com prensión.
C on respecto al ejem plo 3.8, observe tam bién que la probabilidad de que ocurra
un accidente en un intervalo m uy corto, digam os, un intervalo de 1 centím etro, es solam
ente 0.00000005, que es m uy pequeño. C onform e la longitud del intervalo se ap ro ­
xima a cero, la probabilidad de q ue ocurra un accidente en él tam bién se aproxim a a
cero: ciertam ente, en el caso continuo siem pre asignamos una probabilidad cero a puntos
individuales. E sto no significa que los eventos correspondientes no pueden ocurrir; después
de todo, cuando ocurre un accidente en el tram o de 200 kilóm etros de carretera,
tiene que ocurrir en algún punto aun cuando cada punto tenga probabilidad cero.
3.4 FUNCIONES DE DENSIDAD DE PROBABILIDADES
La m anera en que asignam os probabilidades en el ejem plo 3.8 es muy especial, y es de
naturaleza sim ilar a la m anera en que asignam os probabilidades iguales a las seis caras
de un dado, caras o cruces, las 52 cartas de ju eg o en una baraja están d ar y así sucesi-