Estadística Matemática con Aplicaciones, 6ta Edición - John E. Freund LEP

Capítulo 7: Funciones de variables aleatorias
7 3 4 C on respecto al ejercicio 3.12, encuentre
(a) la distribución de probabilidad de U = X + Y ;
(b) la distribución de probabilidad de V = X Y ;
(c) la distribución de probabilidad de W = X — Y.
7 3 5 Si A', y X 2 son variables aleatorias independientes q ue tienen la distribución binom
ial con los respectivos p a rám etro s n, y 0 y n 2 y 0, m u estre q ue Y =
A', + X 2 tiene la distribución binom ial con los parám etros n, -I- n 2 y 6. (Sugerencia:
use el teorem a 1 . 1 2.)
7 3 6 Si X { y X 2 son variables aleatorias in d ependientes q u e tienen la distribución
geom étrica con el parám etro 0, m uestre que Y = X¡ + X 2 es una variable aleatoria
q ue tiene la distribución binom ial negativa con los parám etros 6 y k = 2.
7 3 7 Si A', y Y son variables aleatorias independientes que tienen la distribución n o r­
mal están d ar, m uestre que la variable aleatoria Z = X + Y tam bién está distribuida
n o rm alm en te. (Sugerencia: com plete el cu ad rad o en el exponen te.)
¿C uáles son la m edia y la varianza de esta distribución norm al?
738 Considere dos variables aleatorias X y Y con la densidad de probabilidad conjunta
f 12x y ( l - y ) paraO < x < 1 . 0 < y < l
\ 0 e n cu a lq u ier o tra p a rte
E n cu en tre la densidad de probabilidad de Z = X Y 2 m ediante el teo rem a 7.1
(con la m odificación de la página 249), a fin de determ inar la densidad de p ro ­
babilidad conjunta de Y y Z y después in teg rar p a ra elim inar y.
7 3 9 R ehaga e l ejercicio 7.38 m ediante el uso del teo rem a 7.2 para d e te rm in a r la
densidad de probabilidad conjunta d e Z = X Y 2 y U = Y y después encuentre
la densidad m arginal de Z.
7.40 C onsidere dos variables aleatorias independientes A', y X 2 que tienen la m ism a
distribución d e Cauchy
^ x ) = ¿ ( i V v j para < * < 00
E ncuentre la densidad de probabilidad de Y¡ = AT, + X 2 m ediante el teorem a
7.1 (com o se m odificó en la página 249) para determ inar la densidad de p ro b a ­
bilidad conjunta de A-, y y , y después integrar p ara elim inar x , . T am bién, identifique
la distribución de K ,.
7.41 R ehaga el ejercicio 7.40 m ediante el uso del teo rem a 7.2 p ara d e te rm in a r la
densidad de probabilidad conjunta de y , = X x + X 2 y Y 2 = X x — X 2 y después
encuentre la densidad m arginal de y ,.
7.42 C onsidere dos variables aleatorias X y Y cuya densidad de probabilidad conjunta
está dad a por
2
p a r a x > 0 , y > 0 ,x + y < 2
0 en cu a lq u ier o tra parte